Графіки зворотних тригонометричних функцій
Ключові слова: зворотна тригонометрическая функція, арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс
Зворотні тригонометричні функції
Зворотні тригонометричні функції це математичні функції, які є зворотними до тригонометричним функціям. До зворотних тригонометричних функцій зазвичай відносять шість функцій:
- арксинус (позначення: arcsin)
- арккосинус (позначення: arccos)
- арктангенс (позначення: arctg)
- арккотангенс (позначення: arcctg)
- арксеканс (позначення: arcsec)
- арккосеканс (позначення: arccosec)
Назва зворотного тригонометричної функції утворюється від назви відповідної їй тригонометричної функції додаванням приставки «арк-» (від лат. Arc - дуга).
Це пов'язано з тим, що геометрично значення зворотної тригонометричної функції можна пов'язати з довжиною дуги одиничному колі (або кутом, стягує цю дугу), що відповідає тому чи іншому відрізку.
Дана функція y = sin x.
На всій своїй області визначення вона є кусочно-монотонної, і, отже, зворотне відповідність y = arcsin x функцією не є. Тому ми розглянемо відрізок, на якому вона строго зростає і приймає всі значення області значень - $$ \ left [- \ frac; \ Frac \ right] $$. Так як для функції y = sin x на інтервалі $$ \ left [- \ frac; \ Frac \ right] $$ кожному значенню аргументу відповідає єдине значення функції, то на цьому відрізку існує зворотна функція y = arcsin x. графік якої симетричний графіку функції y = sin x на відрізку $$ \ left [- \ frac; \ Frac \ right] $$ щодо прямої y = x.
Дана функція y = cos x.
На всій своїй області визначення вона є кусочно-монотонної, і, отже, зворотне відповідність y = arccos x функцією не є. Тому ми розглянемо відрізок, на якому вона строго зростає і приймає всі свої значення - [0; $$ \ pi $$]. На цьому відрізку y = cos x строго монотонно убуває і приймає всі свої значення тільки один раз, а значить, на відрізку [0; $$ \ pi $$] існує зворотна функція y = arccosx. графік якої симетричний графіку y = cos x на відрізку [0; $$ \ pi $$] щодо прямої y = x.
Дана функція y = tg x.
На всій своїй області визначення вона є кусочно-монотонної, і, отже, зворотне відповідність y = arctgx функцією не є. Тому розглянемо відрізок, на якому вона строго зростає і приймає всі свої значення тільки один раз - $$ \ left (- \ frac; \ frac \ right) $$. На цьому відрізку y = tg x строго монотонно зростає і приймає всі свої значення тільки один раз, отже, на інтервалі $$ \ left (- \ frac; \ frac \ right) $$ існує зворотна функція y = arctg x. графік якої симетричний графіку y = tgx на відрізку $$ \ left (- \ frac; \ frac \ right) $$ щодо прямої y = x.
Дана функція y = ctg x.
На всій своїй області визначення вона є кусочно-монотонної, і, отже, зворотне відповідність y = arcctg x функцією не є. Тому розглянемо відрізок, на якому вона строго зростає і приймає всі свої значення тільки один раз - (0; $$ \ pi $$). На цьому відрізку y = ctg x строго зростає і приймає всі свої значення тільки один раз, отже, на інтервалі (0; $$ \ pi $$) існує зворотна функція y = arcctg x. графік якої симетричний графіку y = ctg x на відрізку (0; $$ \ pi $$) відносно прямої y = x.