гомотопних двох неперервних відображень - формалізація інтуїтивного уявлення про Деформівні-руемості одного відображення в інше. Точніше, відображення паз. гомотопних (позначення), якщо існує таке сімейство безперервних відображень безперервно залежних від параметра що (фіксація відрізка [0, 1] проведена тут лише з міркувань техніч. зручності; ясно, що замість нього можна взяти будь-який інший відрізок дійсної осі). Це сімейство (зване гомотопия зв'язує) є шляхом в просторі всіх неперервних відображень, що зв'язує точку f з точкою g, так що гомотопних відображень є спеціалізацією на випадок просторів відображень загального відносини "бути пов'язаним безперервним шляхом". Тому, зокрема, ставлення гомотопних є відношенням еквівалентності, а відповідні класи (вони називаються гомотопіч. Класами) представляють собою компоненти лінійної зв'язності простору. Для додання сказаного точного сенсу необхідно уточнити, що означає вираз "відображення ft безперервно залежать від t". Найприродніший шлях полягає у введенні в топології (або хоча б псевдотопологіі). Однак за традицією прийнято діяти інакше. Саме, але визначенню, вважається, що безперервно залежить від t, якщо функція неперервна за сукупністю змінних, т. Е. Якщо безперервно відображення, певне формулою (це відображення також часто наз. Гомотопия, що зв'язує).
Описані Г. іноді наз. вільними, щоб відрізнити їх від "пов'язаних" Г. виникають, коли фіксований недо-рий клас неперервних відображень та накладено вимога, щоб для будь-кого. Напр. якщо задано підпростір. то можна розглядати пов'язані на Агомотопій, що відрізняються тим, що на Адля всіх t. У цьому випадку говорять, що відображення гомотопних відображенню щодо Аі пишуть
Інший тип "пов'язаних" Г. виникає, коли в Xі У обрані підпростору і розглядаються лише відображення, що задовольняють умові. Такі відображення зв. відображеннями пари в пару [позначення, а відповідні Г. [т. е. гомотопий, для яких брало для всіх t] - гомотопия відображень пар. Замість пар можна розглядати трійки (з умовою або без цієї умови), четвірки і т. П. Можна розглядати, напр. Г. відображень пар щодо третього підпростору і т. Д. Можливі й принципово інші типи "пов'язаних" Г.
Завдання встановлення гомотопічності ( "пов'язаної" чи ні) двох даних відображень рівносильна задачі поширення на все безперервного відображення в Y, заданого на (а в завданні гомотопних rel A - на). У цьому сенсі завдання гомотопних є окремим випадком завдання поширення. Разом з тим в широкому класі випадків (а саме, для так зв. Корасслоеній). можливість поширення на все Xнепреривного відображення. заданого на підпросторі, залежить тільки від його гомотопіч. класу. Цей тісний зв'язок завдання гомотопних і завдання поширення обумовлює їх спільний розгляд в рамках так зв. теорії гомотопий. Див. Гомотопічні тип. м. М. Постніков.
Математична енциклопедія. - М. Радянська енциклопедія І. М. Виноградов 1977-1985
Допомога пошукових систем