Геометричні фігури і тіла Презентацію підготувала Габова Марина Анатоліївна канд. пед. наук, доцент кафедри ПМДО КГПИ
Основні поняття геометрії Точка - невизначені поняття геометрії, елемент простору. Вважається, що точка не має ні довжини, ні ширини, ні площі. Пряма - основне невизначені поняття, підмножина простору. Площина - основне невизначені поняття, спеціальне підмножина простору. Геометрична фігура - безліч точок. Властивості і взаємозв'язку основних понять описуються за допомогою певної групи аксіом. Через основні поняття вводяться визначення всіх інших геометричних понять. На підставі аксіом і визначень доводять теореми.
Коротка характеристика основних понять планіметрії Планиметрия - розділ геометрії, що вивчає властивості фігур, що лежать в одній площині. Якщо всі крапки постаті належать площині, то фігура називається плоскою. Лінія - невизначені поняття геометрії. Пряму лінію зручно моделювати, згинаючи будь аркуш паперу. Основна властивість прямої лінії: пряма лінія нескінченна. Криву лінію зручно моделювати з шнура. Крива лінія також нескінченна (якщо вона не замкнута). Лінії можуть бути замкнутими і незамкненими. Лінії можуть бути розташовані на площині і в просторі. Основні взаємини точки і лінії: 1. Через одну точку можна провести безліч прямих. 2. Через одну точку можна провести безліч кривих. 3. Через дві точки можна провести тільки одну пряму. 4. Через дві точки можна провести безліч кривих.
Луч і відрізок Луч - частина прямої, обмежена з одного боку. Луч має початок, але не має кінця. Луч нескінченний. Точка А - початок променя АС. Промені можуть бути: сонаправленнимі протилежно спрямованими. Відрізок - частина прямої, яка знаходиться між двома точками. Безліч, що складається з усіх точок прямої, що лежать між двома даними точками, включаючи ці точки. Відрізок має певну довжину, яку можна виміряти. Інструментом для вимірювання довжин відрізків є лінійка.
Кути Кут - це частина площини, обмежена двома променями, що мають спільний початок. Промені, що утворюють кут, називаються сторонами кута, а їх загальне початок - вершиною кута. Безліч всіх точок площини між сторонами кута - внутрішня площина кута. Кути рівні, якщо при накладенні їх боку збігаються. види кутів
Ламана лінія ламана лінія - об'єднання відрізків, в якому кінець кожного відрізка є початком наступного відрізка, і відрізки, які мають загальний кінець, чи не лежать на одній прямій. Відрізки, що становлять ламану - ланки ламаної. Точки з'єднання кінців ланок - вершини ламаної. Ланки ламаної повинні бути з'єднані послідовно. Ламана лінія містить кінцеве число ланок. Довжина ламаної - сума довжин ланок ламаної. Ламана замкнута, якщо кінець її останньої ланки збігається з початком першої ланки. Ламана проста, якщо кожна ланка має тільки одну спільну точку з іншою ланкою (кінець ланки). Несуміжні ланки не перетинаються.
Багатокутники Багатокутник - плоска фігура, обмежена простою замкнутої ламаної. Сама ламана - межа багатокутника, ланки - сторони багатокутника, точки перетину ланок - вершини багатокутника. Число вершин багатокутника дорівнює числу його сторін. Багатокутник опуклий, якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону. Діагональ багатокутника - відрізок, що з'єднує дві несоседних вершини багатокутника. Багатокутник правильний, якщо всі його сторони і всі кути рівні між собою.
Трикутники Трикутник - багатокутник з трьома кутами і сторонами, обмежений ламаної з трьох ланок. Фігура, що складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох попарно з'єднують їх відрізків.
Чотирикутники Чотирикутник - обмежений ламаної з чотирьох ланок, має чотири сторони і чотири вершини. Фігура, що складається з чотирьох точок і чотирьох послідовно з'єднують їх відрізків, при цьому ніякі три з даних точок не лежать на одній прямій, а що з'єднують їх відрізки не перетинаються.
Паркети з багатокутників З багатокутників можна складати паркети. Паркет - покриття площині багатокутниками суцільно, без просвітів і подвійних покриттів. Будь-які два багатокутника мають або загальну сторону, або загальну вершину, або не мають спільних точок. Правильний паркет - такий паркет з правильних багатокутників, в якому навколо будь-якої вершини багатокутники розташовані одним і тим же способом (навколо всіх вершин в одному і тому ж порядку слідують багатокутники одних і тих же найменувань.
Коло і круг коло - це замкнута крива лінія, що складається з точок, що знаходяться на однаковій відстані від заданої точки О. Безліч всіх точок площини, що знаходяться на одному і тому ж відстані від даної точки площини. Точка О називається центром кола (від лат. «Гострий кінець палички»). Радіус - (від лат. «Спиця колеса») відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якої її точкою. Хорда кола - відрізок, кінці якого належать окружності. Діаметр кола - (від гр. «Діаметр») відрізок (хорда), що проходить через центр кола (кола) і з'єднує дві будь-які її точки. Діаметр дорівнює двом радіусів. Коло - частина площини, обмежена колом. Безліч всіх точок площини, відстань яких від деякої даної точки площини (центру) не більш даного. Кордон кола - коло. Сектор - частина кола між двома його радіусами. Сегмент - частина круга, обмежена хордою і стягують нею дугою.
Коротка характеристика основних понять стереометрії Стереометрія - розділ геометрії, який вивчає властивості всіх фігур простору. Об'ємні фігури в геометрії частіше називають тілами. Геометричне тіло - обмежена зв'язкова фігура в просторі, яка містить всі свої граничні точки. Фігура обмежена, якщо її можна зробити висновок в будь-яку сферу. Фігура зв'язкова, якщо будь-які дві її точки можна з'єднати безперервної лінією, цілком належить фігурі.
Багатогранники Багатогранник - тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників. Грані багатогранника - плоскі багатокутники, що утворюють його поверхню. Ребра - сторони граней. Вершини багатогранників - вершини граней. Діагональ багатогранника - відрізок, що з'єднує дві вершини, які не належать одній грані. Багатогранник опуклий, якщо він лежить цілком по одну сторону від площини будь-якій його межі. Разом з двома будь-якими точками містить цілком весь відрізок, що з'єднує ці точки. Грані - опуклі багатокутники. У будь-якому опуклому многограннике виконується умова: b - p + r = 2, де b - число вершин, p - число ребер, r - число граней (теорема Ейлера).
Тіла обертання тіла обертання утворюються при обертанні плоскої фігури навколо не перетинає її осі, мають гладкі криволінійні поверхні. Прямий круговий циліндр (гр. «Валик, каток») виходить обертанням прямокутника навколо однієї зі сторін. Прямий круговий конус (лат. «Шишка») - обертанням прямокутного трикутника навколо катета. Куля - обертанням півкола навколо діаметра.
Призми Призма - (гр. «Відпиляний шматочок») багатогранник, дві грані якого - рівні багатокутники, що лежать в паралельних площинах, а інші грані - паралелограми. Якщо бічні ребра перпендикулярні площин підстав, то призма - пряма; якщо немає - похила. Якщо в підставі прямої призми лежить правильний багатокутник, то призма - правильна. Паралелепіпед - призма, основи якої - паралелограми. Прямокутний паралелепіпед - прямий паралелепіпед, основа якого - прямокутник. Всі грані - прямокутники. Куб - прямокутний паралелепіпед, всі ребра якого рівні. Всі грані - квадрати.
Піраміди Піраміда - багатогранник, одна з граней якого - довільний багатокутник, а інші - трикутники, що мають спільну вершину. Піраміда правильна, якщо в її основі правильний багатокутник, а підставу висоти збігається з центром підстави. Висота - відрізок перпендикуляра, проведений з вершини піраміди до площини її основи. Усічена піраміда - частина піраміди, яка знаходиться між підставою і січною площиною, паралельної підставі.
Правильні багатогранники Багатогранник правильний, якщо всі його грані - правильні рівні багатокутники і всі двогранні кути рівні. Властивості правильних багатогранників: все ребра рівні; всі плоскі кути рівні; всі багатогранні кути рівні; всі багатогранні кути мають одне і те ж число граней, і в кожній вершині сходиться одне і те ж число ребер. Всього існує 5 видів правильних багатогранників:
Чому їх тільки 5? Сума плоских кутів опуклого багатогранного кута менше 360 °. Тому в одній вершині може сходитися: правильних трикутників 3 (180 °) - тетраедр 4 (240 °) - октаедр 5 (300 °) - ікосаедр квадратів - 3 (270 °) - куб п'ятикутників - 3 (324 °) - додекаедр.
Розгортки правильних багатогранників
Напівправильні багатогранники Архімед відкрив і описав 13 видів напівправильних багатогранників, які називають тілами Архімеда. Всі багатогранні кути їх рівні, а межі - різнойменні правильні багатокутники. Напівправильні багатогранники можна отримати з правильних операцією усічення кутів.