транскрипт
3 Func_Equations_Prosvetov.qxd: 23 Page 3 Передмова Математика теж мистецтво. У неї є свої стилі і періоди стилів. Освальд Шпенглер Хоча функціональними рівняннями займаються з дуже давніх пір, цього курсу так і не знайшлося гідного місця в математичних програмах. А жаль. Адже рішення окремих функціональних рівнянь вимагає досить глибокого розуміння предмета і прищеплює любов до самостійної творчої роботи. В даний час практично немає ніяких посібників, навчальних рішенням функціональних рівнянь. Тому відчувається потреба в посібнику, яке на простих і конкретних прикладах здатне показати читачеві зі скромною математичної підготовкою весь арсенал сучасних методів вирішення функціональних рівнянь. Одна зі спроб вирішити цю задачу перед вами, шановний читачу. Пропонований посібник знайомить читача з найважливішими розділами функціональних рівнянь і покликане допомогти тим, хто намагається самостійно освоїти цей курс. Мета цієї книги просто і дохідливо на конкретних прикладах викласти людям, які, можливо, зовсім не знайомі з математичної літературою, основні методи і прийоми вирішення функціональних рівнянь. У посібнику розглянуті такі теми, як метод підстановки, функціональні рівняння без вільних змінних, функціональні рівняння з вільними змінними, рішення функціональних рівнянь в класі неперервних функцій, рішення функціональних рівнянь в класі диференційовних функцій, визначення основних елементарних функцій за допомогою функціональних рівнянь, різницеві рівняння, рекурентні відношення, що виробляють функції, обчислення визначників за допомогою рекурентних відносин. 3
if ($ this-> show_pages_images $ Page_num doc [ 'images_node_id'])
5 Func_Equations_Prosvetov.qxd: 23 Page 5 Глава 1 ЩО ТАКЕ ФУНКЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ? У функціональному рівнянні невідома функція пов'язана з відомими функціями за допомогою операції композиції функцій. Приклад 1. Приклад функціонального рівняння: f (x + y) = f (x) f (y), де f невідома функція, а x і y незалежні змінні. Завдання 1. Привести приклади функціональних рівнянь. Функція є рішенням функціонального рівняння, якщо при підстановці цієї функції в функціональне рівняння замість невідомої функції виходить тотожність. Приклад 2. Покажемо, що функція f (x) = e x є рішенням функціонального рівняння з прикладу 1. Дійсно, f (x + y) = f (x) f (y) e x + y = e x e y для всіх x і y. Тому функція f (x) = e x є рішенням функціонального рівняння f (x + y) = f (x) f (y). Завдання 2. Показати, що функція f (x) = x α, де α = const, є рішенням функціонального рівняння f (xy) = f (x) f (y). Рішення функціонального рівняння може містити довільні постійні або довільні функції. Надаючи цим постійним або функцій різні значення, отримують приватні рішення функціонального рівняння. Для виділення приватних рішень потрібні додаткові умови. Пошук рішення функціонального рівняння сильно залежить від класу функцій, в якому шукається рішення. Відомо не так уже й багато спільних методів вирішення функціональних рівнянь. Особливе місце в теорії функціональних рівнянь займають різницеві рівняння, які використовуються при вирішенні багатьох прикладних задач. 5