Визначення і формула потенційної енергії
Потенційною енергією називають частину механічної енергії сукупності тел (тіла), яка залежить від взаємного розташування частин системи (конфігурації) і положення в зовнішньому полі сил.
Потенційна енергія визначається роботою, яку здійснюють потенційними силами, які діють на всі частини системи, якщо система переходить з досліджуваної конфігурації до стану, в якому вважають потенційну енергію рівної нулю.А саме робота консервативних сил дорівнює убутку потенційної енергії. Початок відліку потенційної енергії роблять довільно. Емпірично представляється можливим вимір тільки зміни потенційної енергії. Початок відліку потенційної енергії роблять так, щоб спрощувалося вирішення конкретного завдання.
Потенційна енергія є скаляром. Найчастіше потенційну енергію позначають: Ep, Wp. U.
Потенційну енергію системи (Ep) можна розділити на зовнішню: (Ep vnesh) і внутрішню потенційні енергії Ep vnesh. тоді:
де Ep vnesh виходить як результат впливу на систему з боку тіл, які в дану систему не входять. Ep vnutr - викликана взаємодією різних частин складових систему.
Ep vnutr є функцією координат всіх матеріальних точок системи; Ep vnesh крім координат може в явному вигляді залежати від часу.
Вирази для потенційної енергії
Потенційна енергія матеріальної точки знаходиться в потенційному полі сил визначають формулою:
де Y - силова функція, C - постійна інтегрування.
Консервативна сила (), яка діє на матеріальну точку пов'язана з потенційною енергією співвідношенням:
де або - оператор Гамільтона (оператор Набла).
У разі нестаціонарних консервативних сил потенційна енергія матеріальної точки є функцією координат і часу (Ep = Ep (x, y, z, t)).
Внутрішня потенційна енергія системи - сума алгебри потенційних енергій (Ep (ik)) взаємодії всіх пар точок системи:
де. потенційні сили з якими взаємодіють i-я і k-я точки системи. Якщо тіло є твердим, то Ep vnutr = const, тоді вважають, що:
Окремі випадки формул для потенційної енергії
Потенційна енергія пружно деформованого в разі лінійного розтягування тіла наx дорівнює:
де k - коефіцієнт пружності.
Потенційна енергія точки в поле гравітації Землі:
де m - маса матеріальної точки, M - маса Землі, R - радіус Землі. G - гравітаційна стала. При цьому вважають, що при потенційна енергія дорівнює нулю.
Потенційна енергія тіла піднятого над Землею на відстань багато менше, ніж радіус Землі дорівнює:
де m - маса тіла, g- прискорення вільного падіння, h - висота підняття тіла (від деякого умовно нульового рівня, де потенційна енергія вважається рівною нулю).
Одиниці виміру потенційної енергії
Основною одиницею виміру кінетичної енергії (як і будь-якого іншого виду енергії) в системі СІ служить Дж (джоуль), в системі СГС - ерг. При цьому: 1 дж = 10 7 ерг.
Приклади розв'язання задач
Завдання. Матеріальна точка переміщається в позитивному напрямку осі X (x> 0) в поле консервативних сил, потенційна енергія яких задана графіком (рис.1). Як зміниться в процесі руху модуль прискорення?
Рішення. Виходячи з графіка на рис.1 можна записати рівняння, яке зв'яже потенційну енергію і координату матеріальної точки в ході переміщення:
де A - деяка постійна.
В якості основи для вирішення задачі використовуємо формулу, яка б пов'язала консервативну сили і потенційну енергію:
Для руху по осі X, яке представлено в нашій задачі вираз (1.2) набуде вигляду:
Відповідно (1.1) і (1.3) модуль сили, що діє на матеріальну точку дорівнює:
За другим законом Ньютона модуль сили може бути знайдений як:
Значить, отримаємо вираз для прискорення даної матеріальної точки:
Відповідь. З отриманого виразу для прискорення матеріально точки в заданому полі можна зробити висновок, що прискорення по модулю не змінюється.
Завдання. Яку роботу здійснюють над матеріальною точкою сили поля, якщо частка переходить з точки має координати (1; 1; 1) в точку з координатами (2; 2; 2). При цьому потенційна енергія частинки задана функцією:. Врахуйте, що потенційна енергія задана в Дж, а координати в метрах.
Рішення. Потенційна енергія визначається роботою, яку здійснюють потенційними силами, а саме робота консервативних сил дорівнює убутку потенційної енергії:
Використовуючи умови задачі, знайдемо Ep1 і Ep2: