ФОРМУЛА ПЛАНКА
Закони Кірхгофа для теплового випромінювання тіл (монохроматичного або інтегрального) дозволяють визначити спектральні та інтегральні характеристики випромінювання різних тіл, якщо експериментально виміряні відповідні коефіцієнти поглинання. При цьому повинно бути відомо рівноважний розподіл енергії в спектрі повного випромінювання (абсолютно чорного тіла), т. Е. Вид функції і Так як згадані вище «моделі» не є досить точним наближенням до повного (ідеального) випромінювача, то були зроблені спроби теоретичного висновку цієї функції з подальшим зіставленням з результатами вимірів. Це завдання було успішно вирішена Планком (1900), який запропонував ідею про квантовий характер випромінювання атомів і молекул. Для спектральної щільності енергетичної світності повного випромінювача їм була отримана формула (в функції від або X)
яка добре узгоджується з результатами вимірювань, проведених на «моделях» абсолютно чорного тіла. Користуючись формулами (2.67), можна розрахувати ту частину енергії, яка міститься в одиниці об'єму та доводиться на монохроматический ділянку спектра. Ця енергія пов'язана із співвідношенням і дорівнює:
Є кілька різних підходів до висновку цієї формули; наведемо висновок, заснований на використанні статистики Бозе -
Ейнштейна і ідеї Планка про квантовий характер випромінювання. Скористаємося поданням про «фотонному газі» і відзначимо відмінність між ним і ідеальним газом:
1) в ідеальному газі функція розподілу молекул по енергіях переходить до рівноважного увазі завдяки зіткнень. У фотонному газі обміну енергіями між фотонами не відбувається і їх розподіл по енергіях змінюється тільки тими тілами, які поглинають і випускають фотони. Зважаючи на це тіла ( «теплові випромінювачі») нав'язують фотонного газу певний розподіл енергії по спектру, відповідне розподілу «осциляторів» самого тіла по їх енергетичним рівням;
2) число молекул ідеального газу при нагріванні і охолодженні залишається постійним, тоді як число фотонів в рівноважному теплове випромінювання (в одиниці об'єму) збільшується з підвищенням температури;
3) молекули ідеального газу мають однакові маси, але різні швидкості, імпульси і енергії; фотони ж мають однакові швидкості, але різні маси, імпульси і енергії.
Зважаючи на це замість «простору швидкостей», яке було використано для молекул ідеального газу (див. Рис. IV.70, § 12), для фотонного газу скористаємося «простором імпульсів», в якому кожна «точка» А буде позначати один фотон, що рухається в напрямку і має імпульс (рис. IV.77). Число фотонів, енергія яких укладена в інтервалі будемо вважати пропорційним обсягу кільцевого шару з радіусом і товщиною
де функція від частоти коливань і температури тіла - є «щільність», з якою заповнений «точками» цей шар. Це число необхідно подвоїти з огляду на те, що в кожному напрямку можуть поширюватися два фотона однаковою енергії з протилежними напрямками поляризації.
Щільність з якої заповнений такими «точками» простір імпульсів, обумовлена тією щільністю, з якою «частинки-осцилятори» в теплових випромінювачів заповнюють відповідні ділянки енергетичного спектра. Скористаємося простим прийомом: 1) кожен атом, що випускає набір частот можна замінити атомами, кожен з яких випромінює фотони тільки однієї частоти; 2) атом, що випускає фотони раз в секунду, можна замінити «підсистемою», що має в своєму складі порушених «частинок-осциляторів», випромінюючих один раз в секунду. Завдяки цьому тепловий випромінювач може бути уподібнений системі, розглянутої в § 12. У формулі (2.37) покладемо (фотон або має енергію
або не існує); відносне число збуджених осциляторів з енергією є відносне число щомиті випускаються фотонів, що мають цю ж енергію, тому
Помноживши на два і на і підставивши значення отримаємо
яке в раз більше, ніж Цей результат означає, що «простір імпульсів» для фотонів необхідно розділити на рівні клітини, які мають обсяг у кожної такої клітці може перебувати тільки одна точка, яка зображує один фотон. Цей прийом широко застосовується в квантовій фізиці.
В області дуже коротких і дуже довгих ділянок спектра формулу Планка можна замінити наближеними формулами:
На рис. IV.78 дані графіки, які відповідають цим формулам; точками зображені результати вимірювань, які підтверджують формулу Планка.