Кришки люків, які рятують пішоходів від падінь в колодязі і заважають автомобілістам, найчастіше мають круглу форму. Вибір такої форми пояснюється міркуваннями безпеки - квадратна кришка при зсуві може провалитися, оскільки сторона квадрата менше його діагоналі. А у кола є чудова властивість - це фігура постійної ширини.
Фіксована ширина означає, що при «обхваті» фігури двома паралельними прямими ширина отриманої смуги буде постійною, що не залежить від вибору напрямку прямих.
А чи є на площині, крім кола, інші фігури постійної ширини? Виявляється, є, і їх нескінченно багато.
Найпростіша і найзнаменитіша така фігура - трикутник Рело. Точніше кажучи, ця фігура тільки нагадує трикутник, її межа - дуги трьох кіл з центрами в вершинах правильного трикутника і однакових радіусів, рівних довжині сторони трикутника. Можна показати (і «перевірити» за допомогою штангенциркуля), що при обхваті фігури паралельними прямими точками дотику прямих для трикутника Рело стануть вони одним з його вершин і якась точка на протилежній цій вершині дузі кола. Так як радіуси всіх дуг рівні, то результат «вимірювання» завжди буде однаковий.
За тією ж схемою, що і для трикутника, фігуру постійної ширини можна побудувати на будь-якому правильному $ n $ -угольніке, що має непарне число вершин. Можна побудувати і несиметричні фігури постійної ширини.
Житейськи, властивість постійної ширини фігури можна продемонструвати, виготовивши набір роликів з профілями різних фігур фіксованою постійної ширини. Якщо покласти ролики на горизонтальну поверхню і накрити дощечкою, то при коченні роликів дощечка буде переміщатися горизонтально.
У фігур постійної ширини чимало цікавих властивостей. Наприклад, всі фігури даної постійної ширини мають однаковий периметр. Є у таких фігур і своєрідна ієрархія. А саме, серед фігур даної постійної ширини найбільша площа - у кола, найменша - у трикутника Рело.
Завдяки своїм геометричним властивостям, фігури постійної ширини знаходять застосування в різних областях.
Перший приклад. Ви опускаєте монету в автомат і вона вирушає в дорогу по Монетоприймач. Щоб монета не застрягла, можна, звичайно, розширити трубку. А можна виготовляти монети у вигляді фігур постійної ширини, тоді монета не застрягне, навіть обертаючись.
Найпростіша фігура постійної ширини, як ми знаємо, - коло, форму якого має більшість монет. Але є й винятки. У Великобританії 20 \ null \ і 50-пенсові монети мають форму фігури постійної ширини, побудованої на правильному семикутник. Таку ж форму має і монета достоїнством в полдінара, що має ходіння в Йорданії. Виготовлення монет у вигляді фігур постійної ширини, відмінних від кола, дозволяє економити метал: адже як ми знаємо, при фіксованій ширині кругла монета - сама металоємність.
У двох інших прикладах трикутник Рело прихований від очей, але є головною ідейною складовою конструкції.
До настання цифрової епохи фільми знімали на плівку. І в кінокамеру, і в кінопроекторах були грейферні механізми, які забезпечували стрибкоподібний рух плівки уздовж об'єктива (стандартно 18 стрибків в секунду). Рух цих механізмів ставив трикутник Рело.
В автомобілебудуванні в кінці 1940-х років Ф. Г. Ванкель придумав схему двигуна без колінчастого вала - пристрою, що перетворює поступальний рух поршнів в обертання валу двигуна. У цьому двигуні, званому роторним, немає циліндрів. Тіло, зване ротором, при обертанні постійно стосується стінок камери двигуна, розділяючи робочий простір на три частини. У двигуні Ванкеля форма ротора в перерізі - трикутник Рело.
Повертаючись до геометрії зауважимо, що якщо центр трикутника Рело рухається по спеціальній замкнутій кривій, а сам трикутник при цьому обертається навколо центру, то замітає область має форму квадрата, кути якого трохи закруглені. З використанням цієї ідеї розроблено і запатентовано свердло, що дозволяє отримувати майже квадратні отвори!
література
- Радемахер Г. Теплиц О. Числа і фігури: досліди математичного мислення. - М. ОНТИ, 1936. - [перевидавалися в 1938, 1962, 1966 роках].
- Яглом І. М. Болтянский В. Г. Опуклі фігури. - М.-Л. ГІТТЛ, 1951. - (Бібліотека математичного гуртка; вип. 4).