Фігури Ліссажу - замкнуті траєкторії. що проводяться точкою, що здійснює одночасно два гармонійних коливання в двох взаємно перпендикулярних напрямках. Вперше вивчені французьким ученим Жюлем Антуаном Лиссажу. Вид фігур залежить від співвідношення між періодами (частотами), фазами і амплітудами обох коливань. У найпростішому випадку рівності обох періодів фігури представляють собою еліпси, які при різниці фаз 0 або π вироджуються у відрізки прямих, а при різниці фаз π 2 >> та рівності амплітуд перетворюються в коло. Якщо періоди обох коливань неточно збігаються, то різниця фаз весь час змінюється, внаслідок чого еліпс весь час деформується. При істотно різних періодах фігури Ліссажу не спостерігаються. Однак, якщо періоди відносяться як цілі числа, то через проміжок часу, рівний найменшому кратному обох періодів, що рухається точка знову повертається в те саме положення - виходять фігури Ліссажу більш складної форми. Фігури Ліссажу вписуються в прямокутник, центр якого збігається з початком координат. а сторони паралельні осях координат і розташовані по обидва боки від них на відстанях, рівних амплітуд коливань.
Математичний вираз для кривої Ліссажу
де A. B - амплітуди коливань, a. b - частоти, δ - зрушення фаз
Вид кривої сильно залежить від співвідношення a / b. Коли співвідношення дорівнює 1, фігура Ліссажу має вигляд еліпса, при певних умовах вона має вигляд кола (A = B. δ = π / 2 радіан) і відрізка прямої (δ = 0). Ще один приклад фігури Ліссажу - парабола (a / b = 2, δ = π / 2). При інших співвідношеннях фігури Ліссажу представляють собою більш складні фігури, які є замкнутими за умови a / b - раціональне число.
Анімація внизу показує зміну кривих при постійно зростаючій співвідношенні a b >> від 0 до 1 з кроком 0.01. (Δ = 0)
Приклади фігур Ліссажу нижче з δ = π / 2, непарним натуральним числом a. і також натуральним числом b. і | a - b | = 1.
Фігура Ліссажу на екрані осцилографа
Якщо подати на входи «X» і «Y» осцилографа сигнали близьких частот, то на екрані можна побачити фігури Ліссажу. Цей метод широко використовується для порівняння частот двох джерел сигналів і для підстроювання одного джерела під частоту іншого. Коли частоти близькі, але не рівні один одному, фігура на екрані обертається, причому період циклу обертання є величиною, зворотної різниці частот, наприклад, період обороту дорівнює 2 с - різниця в частотах сигналів дорівнює 0,5 Гц. У разі рівного розподілу частот фігура застигає нерухомо, в будь-якій фазі, однак на практиці, за рахунок короткочасних нестабільності сигналів, фігура на екрані осцилографа зазвичай трохи тремтить. Використовувати для порівняння можна не тільки однакові частоти, але і знаходяться в кратному відношенні, наприклад, якщо зразковий джерело може видавати частоту тільки 5 МГц, а настроюється джерело - 2,5 МГц.
Обертання фігури Ліссажу при незначній розладі частот