Ермітово-спряжена матриця

Ермітово-спряжена матриця або поєднане-транспонована матриця - це матриця Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A * з комплексними елементами, отримана з вихідної матриці Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A Транспонированием і заміною кожного елемента комплексно-зв'язаних йому.

Ермітовим-зв'язані матриці багато в чому відіграють ту ж роль при вивченні комплексних векторних просторів. що і транспонований матриці в разі речових просторів.

Визначення та позначення

Якщо вихідна матриця Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A має розмір Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): M \ times n. то ермітовим-сполучена до Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A матриця Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A ^ * матиме розмір Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): N \ times m, а її Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): (I, j) -й елемент буде дорівнює:

Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Left (A ^ * \ right) _ = \ overline>,

де Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Overline позначає комплексно-поєднане число до Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): Z (поєднане число до Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A + bi є Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A - bi. де Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A і Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): B - дійсні числа).

Ермітовим-пов'язану матрицю зазвичай позначають як Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A ^ * або Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A ^ H (H від англ. Hermitian - ермітовим), але іноді використовуються і інші позначення:

  • Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A ^ - в квантовій механіці;
  • Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A ^ + - але це позначення може бути поплутано з позначенням для псевдообернена матриця;
  • Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): ^ \ Text.

Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A = \ begin 3 + i 5 \\ 2-2i i \ end

Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A ^ * = \ begin 3-i 2 + 2i \\ 5 -i \ end.

пов'язані визначення

Якщо матриця Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A складається з дійсних чисел. то ермітовим-сполучена до неї матриця - це просто транспонована матриця.

Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A ^ * = A ^ T, якщо Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A_ \ in \ mathbb.

Квадратна матриця Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A називається:

  • ермітової. якщо Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A ^ * = A;
  • антіермітовой або косоермітовой. якщо Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A ^ * = -A;
  • нормальної. якщо Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A ^ * A = AA ^ *;
  • унітарною. якщо Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A ^ * A = AA ^ * = I. де Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): I - одинична матриця.
  • Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): (A + B) ^ * = A ^ * + B ^ * для будь-яких двох матриць Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A і Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): B однакових розмірів.
  • Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): (CA) ^ * = \ overline A ^ * для будь-якого комплексного скаляра Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): C \ in \ mathbb.
  • Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): (AB) ^ * = B ^ * A ^ * для будь-яких матриць Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A і Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): B. таких, що визначено їх твір Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): AB. Зверніть увагу, що в правій частині рівності порядок множення матриць змінюється на протилежний.
  • Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): (A ^ *) ^ * = A для будь-якої матриці Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A.
  • Власні значення. визначник і слід змінюються на зв'язані у ермітовим-сполученої матриці, в порівнянні з вихідною.
  • Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A оборотна тоді і тільки тоді, коли оборотна матриця Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A ^ *. При цьому: Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): (A ^ *) ^ = (A ^) ^ *
  • Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Langle Ax, y \ rangle = \ langle x, A ^ * y \ rangle для будь-якої матриці Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A розміру Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): M \ times n і будь-яких векторів Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): X \ in \ mathbb ^ n і Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): Y \ in \ mathbb ^ m. Позначення Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Langle \ cdot, \ cdot \ rangle позначає стандартне скалярний добуток векторів в комплексному векторному просторі.
  • Матриці Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): AA ^ * і Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A ^ * A є ермітовим і позитивно-полуопределённимі для будь-якої матриці Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A (необов'язково квадратної). Якщо Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): A квадратна і невироджених, то ці дві матриці будуть позитивно-визначеними.
  • Сполучений оператор - узагальнення поняття ермітовим-сполученої матриці для нескінченновимірних просторів.

Напишіть відгук про статтю "ермітово-спряжена матриця"

Схожі статті