Для того щоб розрахувати в трикутнику всі можливі показники, необхідно, як мінімум, мати дані про його сторонах. Знаючи два кута і сторону а, можна знайти інші дві сторони і кут, побудувавши висоту в такому трикутнику. (Рис. 76.1) Висота розділить довільний трикутник на два прямокутних, в яких катетами буде висота і частина відомої боку x або y, а гіпотенузи - невідомі сторони a і b. Крім того, що ми задаємо відому сторону a, як суму двох катетів x і y, тригонометрія отриманих трикутників, визначає висоту з одного боку як твір y на тангенс β, а з іншого боку як твір x на тангенс γ. Прирівнюючи ці вирази один до одного, можна скласти систему рівнянь, з яких можуть бути знайдені частини x і y, а потім невідомі сторони початкового трикутника a і b.
Можна також знайти відразу дві інші висоти трикутника, опущені на сторони b і c відповідно. (Рис. 76.2) h_b = a sinβ h_c = a sinγ
Третій кут можна знайти, знаючи, що сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180 градусам. α = 180 ° -β-γ
Тепер, знаючи всі сторони, кути і висоти, можна знайти всі інші параметри трикутника. Обчислити периметр можна, склавши всі три сторони, а площа - помноживши половину будь-якого боку на опущену на неї висоту. P = a + b + c S = (ah_a) / 2
Якщо провести в трикутнику медіани, то кожна з них розділить сторону, на яку вона опущена, на дві рівні частини. Для того, щоб обчислити медіану в трикутнику, необхідно знати всі три сторони. Формула медіани полягає в тому, щоб скласти подвоєні квадрати двох незайманих сторін, відняти квадрат боку, на яку опущена медіана, витягти з цього виразу квадратний корінь і розділити його на два. (Рис. 75.1) m_c = √ (2a ^ 2 + 2b ^ 2c ^ 2) / 2 m_a = √ (2b ^ 2 + 2c ^ 2a ^ 2) / 2 m_b = √ (2a ^ 2 + 2c ^ 2-b ^ 2) / 2
Щоб знайти бісектриси трикутника, які ділять навпіл його кути, також необхідно знати всі три сторони трикутника. Формула бісектриси виглядає трохи складніше, ніж формула медіани, але досить проста в розрахунках. (Ріс.75.2) l_c = √ (ab (a + b + c) (a + bc)) / (a + b) l_b = √ (ac (a + b + c) (a + cb)) / (a + c) l_a = √ (bc (a + b + c) (b + ca)) / (b + c)
Середня лінія трикутника - це пряма, проведена паралельно одній з його сторін. Її особливість полягає в тому, що вона ділить боку на які спирається на дві рівні частини, і сама дорівнює половині сторони, їй паралельної. (Ріс.75.7) M_a = a / 2 M_b = b / 2 M_c = c / 2
Також в довільному трикутнику через сторони можна знайти радіус кола, яку можна вписати в трикутник або описати біля нього. Радіус вписаного кола буде починатися в точці перетину биссектрис трикутника і опускатися на будь-яку зі сторін під прямим кутом. Радіус описаного кола починається в точці перетину медіатрісс трикутника і закінчується в будь-який з його вершин. (Рис. 75.5, 75.6) r = √ (((p-a) (p-b) (p-c)) / p) R = abc / (4√ (p (p-a) (p-b) (p-c)))