Поняття другої похідної
Нехай функція має похідну в усіх точках деякого проміжку. Ця похідна, в свою чергу, є функцією від Якщо функція є диференційованою, то її похідну називають другою похідною і позначають (або)
Поняття опуклості, угнутості і точок перегину графіка функцї
Нехай функція визначена на проміжку а в точці має кінцеву похідну. Тоді до графіка цієї функції в точці можна провести дотичну
Якщо в деякому околі точки всі крапки кривої графіка функції (крім самої точки) лежать вище дотичній, то кажуть, що крива (і сама функція) в точці є опуклою (точніше, строго опуклою). Також іноді кажуть, що в цьому випадку графік функції звернений опуклістю вниз
Якщо в деякому околі точки всі крапки кривої (крім самої точки) лежать нижче дотичній, то кажуть, що крива (і сама функція) в точці є угнутою (точніше, строго угнутою). Також іноді кажуть, що в цьому випадку графік функції звернений опуклістю вгору
Якщо точка на осі абсцис має властивість, що при переході аргументу через неї крива переходить з одного боку дотичної на іншу, то точка називається точкою перегину функції точка кривої - точкою перегину графіка функції
- точка перегину графіка функції
- точка перегину функції
В деякій околиці точки: при крива нижче дотичній, а при крива вище дотичній (або навпаки)
Дослідження функції на опуклість, угнутість і точки перегину
- Знайти область визначення і інтервали, на яких функція неперервна
Функція безперервна в кожній точці своєї області визначення
існує на всій області визначення
В інтервалі і в інтервалі графік функції направлено опуклістю вниз а в інтервалі графік функції спрямований опуклістю вгору
Точки перегину: i (в цих точках змінює знак)