Досліджуємо функцію, задану формулою.
Функція строго убуває на і на.
Доведення. Нехай, і одного знака. Тоді. (Див. Властивість нерівностей 9).
Безліч значень функції -.
Доведення. Нехай. Тоді належить множині значень функції.
Визначення. Безліч точок площини, яке в будь-якій системі координат є графіком функції, називається равнобочной гіперболою.
Графік равнобочной гіперболи наведено на рис. 29:
Равнобочная гіпербола симетрична щодо початку координат.
Визначення. Функція, графік якої симетричний відносно початку координат, називається непарною функцією.
Приклад. - непарні функції.
Визначення. Прямі та називаються асимптотами равнобочной гіперболи.
Асимптоти перпендикулярні осях координат і проходять через
точки на цих осях, які не належать області визначення або безлічі значень функції.
Перетворення системи координат
1) Зміна напрямку осі абсцис
Гіпербола - графік функції (рис. 30).
З отримуємо графік функції
З виходить графік функції
Таким чином, графік будь-якої функції є равнобочной гіперболою.
Якщо, потрібно взяти і отримати з.
Якщо, потрібно взяти і отримати з.
З отримаємо графік функції.
Визначення. Дрібно-лінійною функцією називається функція, задана формулою
Область визначення цієї функції.
Теорема. Графік дрібно-лінійної функції - равнобочная гіпербола.
Доведення. Перетворимо дріб до виду:
Практичний прийом побудови графіка дрібно-лінійної функції
1. Знаходиться заборонене значення.
2. Знаходиться заборонене значення функції. Для цього з рівності виражається через.
3. Наносимо знайдені точки на осі координат і проводимо через них прямі, перпендикулярні осях - асимптоти графіка.
4. Щоб визначити положення графіка по відношенню до асимптотам, знаходимо одну точку графіка.
5. Знаходимо ще кілька точок і, з огляду на, що гіпербола симетрична щодо точки перетину асимптот, будуємо її.
1. Побудуйте графіки функцій
2. Для дрібно-лінійної функції, заданої формулою знайдіть наступні множини:
3. Зобразіть на координатній площині фігури, що задаються рівняннями і нерівностями:
4. Вершини і прямокутника лежать на гіперболі, а сторони прямокутника паралельні координатним осях. Доведіть, що пряма проходить через початок координат.