I. Дослідити взаємне розташування прямих, заданих загальними рівняннями в АСК на площині.
Дослідження. Взаємне розміщення прямих на площині залежить від числа їхніх спільних точок. Точка є спільною для двох прямих тоді і тільки тоді, коли її координати задовольняють рівнянням обох прямих, тобто задовольняють системі рівнянь
Таким чином геометрична задача зведена до алгебраїчної - до дослідження системи двох рівнянь з двома невідомими. З курсу алгебри відомо, що для такої системи можливі три випадки.
1.. В цьому випадку система (21) має єдине рішення. На геометричній мові це означає, що прямі l1 і l2 мають одну спільну точку, тобто перетинаються. Отже, умова є умова перетину прямих, заданих загальними рівняннями.
2.. У цьому випадку рівняння системи (21) еквівалентні, тобто всі рішення одного з них є рішеннями іншого. На геометричній мові - все точки одній прямій лежать на інший, тобто прямі збігаються.
3.. В цьому випадку система (21) не має жодного рішення. На геометричній мові - прямі l1 і l2 не мають жодної спільної точки.
Якщо згадати визначення: прямі l1 і l2 називаються паралельними. якщо вони лежать в одній площині і або збігаються, або не мають жодної спільної точки, то отримуємо, що прямі l1 і l2 паралельні тоді і тільки тоді, коли.
II. Дослідити взаємне розташування прямих на площині в АСК, якщо одна з прямих задана загальним рівнянням, а друга - параметричними рівняннями.
Дослідження. Взаємне розміщення прямих на площині залежить від числа їхніх спільних точок. Точка є спільною для двох прямих тоді і тільки тоді, коли її координати задовольняють рівнянням обох прямих, тобто задовольняють системі рівнянь
Підставивши вирази х і у в перше рівняння і привівши подібні, отримаємо
Для рівняння (23) можливі три випадки.
1. Am + Bn ¹ 0. У цьому випадку Рівняння (23) має одне рішення. На геометричній мові це означає, що l1 і l2 мають одну спільну точку. Отримали умова перетину прямих.
2. Am + Bn = 0 і Ax0 + By0 + C = 0. У цьому випадку рівняння (23) має вигляд 0 × t + 0 = 0. Цьому рівнянню задовольняють всі t Î R. На геометричній мові це означає, що всі крапки другий прямий належать першої прямої, тобто прямі збігаються.
3. Am + Bn = 0, але Ax0 + By0 + C ¹ 0. Рівняння (23) не має рішення. Отже, прямі l1 і l2 не мають жодної спільної точки.
З випадків 2 і 3 отримуємо: прямі l1 і l2 паралельні тоді і тільки тоді, коли Am + Bn = 0.
III. Дослідити взаємне розташування двох прямих у АСК в просторі, якщо прямі задані параметричними (або канонічними) рівняннями.