дослідження функції
Ключові слова: дослідження функції, побудова графіка, область визначення, безлічі значень, парність і непарність функції, періодичність, асимптоти, спадання функції, зростання функції, екстремуми.
Якщо функція f (x) диференційована в деякій точці, то вона неперервна в цій точці.
Зворотне невірно: безперервна функція може не мати похідної.
Наприклад, функція y = | x | всюди неперервна, але вона не має похідної при x = 0. так як в цій точці не існує дотичної до графіка цієї функції.
Слідство. Якщо функція розривна в деякій точці, то вона не має похідної в цій точці.
Достатні ознаки монотонності функції.
- Есліf '(x)> 0 в кожній точці інтервалу (a, b), то функція f (x) зростає на цьому інтервалі.
- Якщо f '(x) 3 дорівнює 0 при x = 0, але ця функція не має екстремум в цій точці.
З іншого боку, функція y = | x |. має мінімум в точці x = 0. але в цій точці похідної не існує.
Достатні умови екстремуму.
- Якщо похідна при переході через точку x0 змінює свій знак з плюса на мінус, то x0 - точка максимуму.
- Якщо похідна при переході через точку x0 змінює свій знак з мінуса на плюс, то x0 - точка мінімуму.
Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка:
- знайти область визначення і область значень функції,
- встановити, чи є функція парною або непарною,
- визначити, чи є функція періодичної чи ні,
- знайти нулі функції і її значення при x = 0,
- знайти інтервали знакопостоянства,
- знайти інтервали монотонності,
- знайти точки екстремуму і значення функції в цих точках,
- проаналізувати поведінку функції поблизу "особливих" точок