17. Привести приклад розходиться послідовності, для якої
lim (x n + p - x n) = 0, p N.
18. Нехай a n, n N. Довести, що послідовність десяткових чисел сходиться.
2.2.1 Гранична точка безлічі
Визначення 2.2.1. Нехай X - непорожня підмножина безлічі R. Точка a R називається граничною точкою множини X. якщо в будь-який околиці U a точки a знайдеться, принаймні, одна, не збігається з a. точка безлічі X.
Визначення 2.2.2. Якщо a R і U a - деяка околиця
точки а, то безліч U a \ називається проколеної окрестно-
стю точки а і позначається U a.
граничної точкою безлічі безлічі X.
Приклад 2.2.3. Якщо X = N, то граничною точкою множини X є тільки + ∞.
Як видно з прикладів, гранична точка множини може як належати, так і не належати йому.
Теорема 2.29. Для того щоб точка a R була граничною точкою множини X R, необхідно і достатньо, щоб існувала послідовність елементів множини X. відмінних від a, що сходиться до a.
Необхідність. Нехай a - гранична точка множини X. Будемо вважати, що a R. Тоді в околиці U a (1 / n), n N знайдеться елемент безлічі X \, який позначимо через x n. послідовність
ність має властивості: x n X \, a - n 1 Достатність. Нехай послідовність така, що x n X, x n 6 = a, x n → a. Зафіксуємо довільну околиця U a точки a. За определенію2.1.3 границі послідовності знайдеться номер N = N (U a) такий, що x n U a. n> N. З огляду на, що x n X \, отримаємо, що в U a міститься нескінченна підмножина безлічі X, а значить, a - гранична точка множини X. Теорема 2.30. Будь-яке безліч дійсних чисел має принаймні одну граничну точку. Нехай X - нескінченна підмножина безлічі R. Ясно, що існує послідовність попарно різних елементів безлічі X. Згідно теореме2.20 послідовність має принаймні один частковий межа. Нехай a P (). тоді най- дется така підпослідовність, що a = lim x n k. оскільки x n k X, k N, і всі вони, крім можливо одного, відмінні від a, то a - гранична точка множини X. Зауваження. Будь-яке кінцеве безліч X R не має граничних точок. У цьому розділі будемо вважати, що X - деякий непорожнє підмножина безлічі R дійсних чисел, a - гранична точка множини X і вещественнозначная функція f визначена на X. Тому щоразу, коли в подальшому будемо говорити про функції f, будемо мати на увазі, а то й обумовлено щось інше, що f. X → R. Визначення 2.2.3. Точка A R називається межею функції f. X → R в точці a (або ще кажуть, що A - межа функції f при x прагне до a), якщо для будь-який околиці U A точки A знайдеться така околиця U a точки a, що образ кожної точки Зауваження. З определенія2.2.3 границі функції випливає, що на існування і величину границі функції f в точці a не впливає значення функції f в точці a, якщо a X; більш того, функція f може бути не визначена в точці a. З огляду на визначення околиці кінцевої точки a R і визначення околиці нескінченних символів, помічаємо, що дане вище визначення границі функції в точці може бути дано в термінах Визначення 2.2.4 (за Коші). Будемо говорити, що число A R є межею функції f в точці a R, якщо для будь-якого числа ε> 0 знайдеться таке число δ = δ (ε)> 0, що для будь-якого x X, що задовольняє умовам 0 <|x−a| <δ выполняется соотношение Перефразуємо в термінах "ε - δ" той факт, що lim f = + ∞. Визначення 2.2.5. Будемо говорити, що + ∞ є границею функції f (x) при x → -∞, якщо для будь-якого числа ε> 0 знайдеться таке число δ = δ (ε)> 0, що для всіх точок x X, які відповідають умові x <−δ. выполняется неравенство f(x)> ε. Приклад 2.2.4. Функція f (x) = c, x R (c R), має межу в Теорема 2.31 (Гейне). Для того щоб A R було межею функції f. X → R в точці a R, необхідно і достатньо, щоб для будь-якої послідовності точок x n X \, сходящейся до a, послідовність образів при відображенні f сходилася до A. Необхідність. Нехай lim f (x) = A. Відповідно до визначення меж U A U a. x X ∩ U a f (x) U A. Якщо послідовність точок безлічі X \ прагне до a, то знайдеться номер N такий, що x n U a при n> N. Тому f (x n) U A при n> N. На підставі визначення границі послідовності в R, робимо висновок, що lim f (x n) = A. Достатність. Нехай для будь-якої послідовності точок з множини X \, яка сходиться до a, послідовність образів прагне до A. Для визначеності вважаємо, що a R. предпо- кладемо, що A не є межею функції f в точці a. тоді знайдеться така околиця U A точки A, що при будь-якому n N в n -окрестності точки a знайдеться елемент x n X \, для якого що f (x n) / U A. Ясно, що lim x n = a і f (x n) 6 → A, хоча x n X \, n N, x n → a. Отримане протиріччя завершує доказ. Слідство. Якщо існує послідовність. x n X \, n N, x n → a і послідовність не має меж, то чи не2.2.2 Визначення границі функції
Схожі статті