Завдання 1. Гравець записував виграш знаком + і програш знаком -. Знайти результат кожної з наступних записів: a) +7 руб. +4 руб .; b) -3 руб. -6 руб .; c) -4 р. +4 р .; d) +8 р. -6 р .; e) -11 р. +7 р .; f) +2 р. +3 р. -5 р .; g) +6 р. -4 р. +3 р. -5 р. +2 р. -6 р.
Запис a) вказує, що гравець спочатку виграв 7 руб. і потім ще виграв 4 р. - разом виграв 11 р .; запис c) вказує, що спочатку гравець програв 4 р. і потім виграв 4 р. - тому загальний результат = 0 (гравець нічого не зробив); запис e) вказує, що гравець спочатку програв 11 руб. потім виграв 7 руб. - програш пересилює виграш на 4 руб .; отже, в загальному, гравець програв 4 руб. Отже, маємо право для цих записів записати, що
a) +7 р. +4 р. = +11 р .; c) -4 р. +4 р. = 0; e) -11 р. + 7 р. = -4 руб.
Так само легко розбираються і інші записи.
За своїм змістом ці завдання схожі з тими, які в арифметиці вирішуються за допомогою дії додавання, тому і тут ми станемо вважати, що всюди доводиться для знаходження загального результату гри складати відносні числа, які виражають результати окремих ігор, наприклад, в прикладі c) відносне число -11 руб. складається з відносним числом +7 руб.
Завдання 2. Касир записував прихід каси знаком +, а витрата знаком -. Знайти загальний результат кожної з наступних записів: a) +16 р. +24 р .; b) -17 р. -48 р .; c) +26 р. -26 р .; d) -24 р. +56 р .; e) -24 р. +6 р .; f) -3 р. +25 р. -20 р. +35 р .; g) +17 р. -11 р. +14 р. -9 р. -18 р. +7 р .; h) -9 р -7 р. +15 р. -11 р. +4 р.
Розберемо, напр. запис f): порахуємо спершу весь прихід каси: з цього запису було 25 руб. приходу, та ще 35 руб. приходь, разом приходу було 60 руб. а витраті було 3 руб. та ще 20 руб. разом було 23 руб. витраті; прихід перевищує витрата на 37 руб. Слід.,
- 3 руб. + 25 руб. - 20 руб. + 35 руб. = +37 руб.
Завдання 3. Точка коливається по прямій, починаючи від точки A (рис. 2).
Переміщення її вправо позначаємо знаком + і переміщення її вліво знаком -. Де буде знаходитися точка після декількох коливань, записаних одною з наступних записів: a) +2 дм. -3 дм. +4 дм .; b) -1 дм. +2 дм. +3 дм. +4 дм. -5 дм. +3 дм .; c) +10 дм. -1 дм. +8 дм. -2 дм. +6 дм. -3 дм. +4 дм. -5 дм .; d) -4 дм. +1 дм. -6 дм. +3 дм. -8 дм. +5 дм .; e) +5 дм. -6 дм. +8 дм. -11 дм. На кресленні дюйми позначені відрізками, меншими справжніх.
Останній запис (e) розберемо: спочатку коливається точка пересунулася вправо від A на 5 дм. потім пересунулася вліво на 6 дм. - в загальному, вона повинна виявитися що знаходиться з вліво від A на 1 дм. потім посунулася вправо на 8 дюйм. слід. тепер вона знаходиться вправо від A на 7 дм. а потім посунулася вліво на 11 дм. отже, вона знаходиться ліворуч від A на 4 дм.
Інші приклади надаємо розібрати самим учням.
Ми прийняли, що у всіх розібраних записах доводиться складати записані відносні числа. Тому домовимося:
Якщо кілька відносних чисел написані поряд (з їх знаками), то ці числа треба скласти.
Розберемо тепер головні випадки, що зустрічаються при додаванні, причому візьмемо відносні числа без назв (т. Е. Замість того, щоб говорити, напр. 5 руб. Виграшу, та ще 3 руб. Програшу, або точка перемістилася на 5 дм. Вправо від A , та потім ще на 3 дм. Ліворуч, станемо говорити 5 позитивних одиниць, та ще 3 негативних одиниць ...).
Тут треба скласти числа, що складаються з 8 полож. одиниць, та ще з 5 полож. одиниць, отримаємо число, що складається з 13 полож. одиниць.
Тут треба скласти число, що складається з 6 отрицат. одиниць з числом, що складається з 9 отрицат. одиниць, отримаємо 15 отрицат. одиниць (порівняти: 6 рублів програшу і 9 руб. програшу - складуть 15 руб. програшу). Отже,
4 рубля виграшу та потім 4 руб. програшу, в загальному, дадуть нуль (взаємно знищується); також, якщо точка просунулася від A спочатку вправо на 4 дм. а потім вліво на 4 дм. то вона виявиться знову в точці A і, слід. остаточне її відстань від A дорівнює нулю, і взагалі ми повинні вважати, що 4 полож. одиниці, та ще 4 негативних одиниці, в загальному, дадуть нуль, або взаємно знищаться. Отже,
+ 4 - 4 = 0, також - 6 + 6 = 0 і т. Д.
Два відносних числа, які мають однакову абсолютну величину, але різні знаки, взаємно знищуються.
6 отрицат. одиниць знищаться з 6 покладе. одиницями, та ще залишиться 3 полож. одиниці. Отже,
7 полож. одиниць знищаться з 7 отрицат. одиницями, та ще залишиться 4 отрицат. одиниці. Отже,
Розглядаючи 1), 2), 4) і 5) випадки, маємо
+ 8 + 5 = + 13; - 6 - 9 = - 15; - 6 + 9 = + 3 і
+ 7 - 11 = - 4.
Звідси бачимо, що треба розрізняти два випадки складання алгебраїчних чисел: випадок, коли складові мають однакові знаки (1-й і 2-й) і випадок додавання чисел з різними знаками (4-й і 5-й).
Не важко тепер побачити, що
при додаванні чисел з однаковими знаками слід скласти їх абсолютні величини і написати їх загальний знак, а при складанні двох чисел з різними знаками треба відняти арифметично їх абсолютні величини (з більшою меншу) і написати знак того числа, у якого абсолютна величина більше.
Нехай потрібно знайти суму
+ 6 - 7 - 3 + 5 - 4 - 8 + 7 + 9.
Ми можемо спочатку скласти всі позитивні числа + 6 + 5 + 7 + 9 = + 27, потім все отрицат. - 7 - 3 - 4 - 8 = - 22 і потім отримані результати між собою + 27 - 22 = + 5.
Можемо також скористатися тут тим, що числа + 5 - 4 - 8 + 7 взаємно знищуються і тоді залишається скласти лише числа + 6 - 7 - 3 + 9 = + 5.
Інший спосіб позначення складання
Можна кожний доданок укладати в дужки і між дужками написати знак складання. напр .:
Ми можемо, згідно з попереднім, відразу написати суму, напр. (-4) + (+5) = +1 (випадок додавання чисел з різними знаками: треба з більшою абсолютної величини відняти меншу і написати знак того числа, у якого абсолютна величина більше), але можемо також переписати спочатку те ж саме без дужок , користуючись нашою умовою, що якщо числа написані поряд з їх знаками, то ці числа треба скласти; слід.,
щоб розкрити дужки при додаванні позитивних і негативних чисел, треба складові написати поруч з їх знаками (знак додавання і дужки опустити).
Напр. (+ 7) + (+ 9) = + 7 + 9; (- 3) + (- 8) = - 3 - 8; (+ 7) + (- 11) = + 7 - 11; (- 4) + (+ 5) = - 4 + 5; (- 3) + (+ 5) + (- 7) + (+ 9) + (- 11) = - 3 + 5 - 7 + 9 - 11.
Після цього можна отримані числа скласти.
В курсі алгебри слід звернути особливу увагу на вміння розкривати дужки.
1) (- 7) + (+ 11) + (- 15) + (+ 8) + (- 1);
Іноді допускають деякі спрощення при позначенні складання: 1) перший доданок пишеться без дужок. напр .:
2) Знак + у першого числа пропускають і пишуть, напр. 5 + (- 7) замість + 5 + (- 7) (див. Кінець п. 10).
3) Знак + також пропускають іноді у числа, якщо воно написано негайно ж всередині дужок. напр .:
- 1 + (7) + (- 2) + (5) замість - 1 + (+ 7) + (- 2) + (+ 5).
1);
2) - 0,5 + (+ 0,25) + (- 1,07) + (- 0,13);
3) 1,24 + (- 0,77) + (+ 2,35) + (- 1,575).
Ось більш складний приклад на додавання:
.
Тут спочатку треба виконати дії всередині дужок: всередині кожних дужок треба скласти написані числа, так як вони написані поряд з їх знаками: (випадок складання з різними знаками), також. Тоді маємо:
.
Вправи.
1) 1 + (3 - 7) + (1 - 6 + 7 - 8 + 9);
2) 1 + [3 + (7 - 11)];