За допомогою диференціальних рівнянь руху вирішується друге завдання динаміки. Правила складання таких рівнянь залежать від того, яким способом хочемо визначити рух точки.
1) Визначення руху точки координатним способом.
Розглянемо вільну матеріальну точку, що рухається під дією сил, .. Проведемо нерухомі координатні осі Oxyz (рис.4). Про-ектіруя обидві частини рівності на ці осі і з огляду на, що і т.д. отримаємо діфферен-альні рівняння криволинейного дві-вання точки в проекціях на осі прямо-вугільної декартової системи координат:
Так як діючі на точку сили можуть залежати від часу, від положення точки і від її швидкості, то праві частини рівнянь можуть містити час t, координати точки х, у, z і проекції її швидкості. При цьому в праву частину кожного з рівнянь можуть входити всі ці змінні.
Щоб за допомогою цих рівнянь вирішити основну задачу динаміки, треба, крім діючих сил, знати ще початкові умови, тобто становище і швидкість точки в початковий момент. У координатних осях Oxyz початкові умови задаються у вигляді: при
Знаючи діючі сили, після інтегрування рівнянь знайдемо координати х, y, z рухається точки, як функції часу t, тобто знайдемо закон руху точки.
Приклад 3. Вивчимо рух тіла, кинутого з початковою швидкістю під кутом до горизонту, розглядаючи його як матеріальну точку маси т. При цьому опором повітря пренебрежем, а поле тяжіння будемо вважати однорідним (Р = const), вважаючи, що дальність польоту і висота траєкторії малі в порівнянні з радіусом Землі.
Помістимо початок координат О в початковому положенні точки. Направимо вісь вертикально вгору; горизонтальну вісь Ox розташуємо в площині, що проходить через Оy і вектор. а вісь Oz проведемо перпендикулярно першим двом осях (рис.5). Тоді кут між вектором і віссю Ox буде дорівнює.
Зобразимо рухому точку М де-небудь на траєкторії. На точку діє одна тільки сила тяжіння. проекції якої на осі координат дорівнюють:. . .
Підставляючи ці величини в диференціальні рівняння і помічаючи, що і т.д. ми після скорочення на m отримаємо:
Помноживши обидві частини цих рівнянь на dt і інтегруючи, знаходимо:
Початкові умови в нашій задачі мають вигляд:
Задовольняючи початкових умов, будемо мати:
Підставляючи ці значення С1. С2 і С3 в знайдене вище рішення і замінюючи,. на прийдемо до рівнянь:
Інтегруючи ці рівняння, отримаємо:
Підстановка початкових даних дає С4 = С5 = С6 = 0, і ми остаточно знаходимо рівняння руху точки М у вигляді:
З останнього рівняння випливає, що рух відбувається в площині Оxy.
Маючи рівняння руху точки, можна методами кінематики визначити всі характеристики даного руху.
1. Траєкторія точки. Виключаючи з перших двох рівнянь (1) час t, отримаємо рівняння траєкторії точки:
Це - рівняння параболи з віссю, паралельною осі Оy. Таким чином, кинута під кутом до горизонту важка точка рухається в безповітряному просторі по параболі (Галілей).
2. Горизонтальна дальність. Визначимо горизонтальну дальність, тобто виміряний вздовж осі Оx відстань ОС = Х. Вважаючи в рівність (2) y = 0, знайдемо точки перетину траєкторії з віссю Ох. З рівняння:
Перше рішення дає точку О. другу точку С. Отже, Х = Х2 і остаточно
З формули (3) видно, що така ж горизонтальна дальність X буде отримана при вугіллі. для котрого . тобто якщо кут. Отже, при даній початковій швидкості в одну і ту ж точку С можна потрапити двома траєкторіями: на-стильною () і навісний ().
При заданій початковій швидкості найбільша горизонтальна дальність в безповітряному просторі виходить, коли. тобто при куті.
3. Висота траєкторії. Якщо покласти в рівнянні (2)
. то знайдеться висота траєкторії Н:
4. Час польоту. З першого рівняння системи (1) випливає, що повне час польоту Т визначається рівністю. Замінюючи тут Х його значенням, отримаємо
При куті найбільшої дальності всі знайдені вели-чини рівні:
Отримані результати практично цілком застосовні для ориен тіровочного визначення характеристик польоту снарядів (ракет), що мають дальності близько 200 ... 600 км, так як при цих дальностях (і при) снаряд основну частину свого шляху проходить в стратосфері, де опором повітря можна знехтувати. При менших дальностях на результат буде сильно впливати опираючись-ня повітря, а при дальностях понад 600 км силу тяжіння вже не можна вважати постійною.
Приклад 4. З гармати, встановленої на висоті h. зробили постріл під кутом до горизонту (рис. 6). Ядро вилетіло з ствола гармати зі швидкістю u. Визначимо рівняння руху ядра.
Щоб правильно скласти диференціальні рівняння руху, треба вирішувати подібні завдання за певною схемою.
а) Призначити систему координат (кількість осей, їх напрямок і початок координат). Вдало вибрані осі спрощують рішення.
б) Показати точку в проміжному положенні. При цьому треба простежити за тим, щоб координати такого становища обов'язково були позитивними (рис.6).
в) Показати сили, що діють на точку в цьому проміжному положенні (сили інерцією показувати!).
У цьому прикладі - це тільки сила. вага ядра. Опір повітря враховувати не будемо.
г) Скласти диференціальні рівняння за формулами:. Звідси отримаємо два рівняння: і.
д) Вирішити диференціальні рівняння.
Отримані тут рівняння - лінійні рівняння другого порядку, в правій частині - постійні. Рішення цих рівнянь елементарно.
Залишилося знайти постійні інтегрування. Підставляємо початкові умови (при t = 0 x = 0, y = h,.) В ці чотири рівняння:. . 0 = С2. h = D2.
Підставляємо в рівняння значення постійних і записуємо рівняння руху точки в остаточному вигляді
Маючи ці рівняння, як відомо з розділу кінематики, можна визначити і траєкторію руху ядра, і швидкість, і прискорення, і положення ядра в будь-який момент часу.
Як видно з цього прикладу, схема вирішення завдань досить проста. Складнощі можуть виникнути тільки при вирішенні диференціальних рівнянь, які можуть виявитися непростими.
2) Визначення руху точки природним способом.
Координатним способом зазвичай визначають рух точки, не обмежені будь-якими умовами, зв'язками. Якщо на рух точки накладені обмеження, на швидкість або координати, то визначити такий рух координатним способом зовсім не просто. Зручніше використовувати природний спосіб завдання руху.
Визначимо, наприклад, рух точки по заданій нерухомої лінії, по заданій траєкторії (рис. 7).
На точку М крім заданих активних сил. діє реакція лінії. Показуємо складові реакції з природничих осях
Складемо основне рівняння динаміки і спроектуємо його на природні осі
Так як то отримаємо диференціальні рівняння руху, такі
Тут сила - сила тертя. Якщо лінія, по якій рухається точка, гладка, то Т = 0 і тоді друге рівняння буде містити тільки одну невідому - координату s:
Вирішивши це рівняння, отримаємо закон руху точки. а значить, при необхідності, і швидкість і прискорення. Перше і третє рівняння (5) дозволять знайти реакції і.