Якщо а і b - об'єкти, то через (а, b) позначимо впорядковану пару, а а і b - компонентами цієї пари.
Рівність упорядкованих пар визначається наступним чином: (а, b) = (c, d) якщо a = c, b = d. Пари (а, b) і (b, а) різні.
Приклад: число 27 складається з цифр 2 і 7. Якщо їх переставити, то вийде інше число 72. Кажуть, що (2; 7) - впорядкована пара.
Впорядковані пари можна складати не тільки з чисел, але і з елементів будь-яких множин.
Приклад. з букв безлічі Х = можна скласти дев'ять впорядкованих пар: (а; а), (а, б), (а; в), (б; а), (б; б), (б, в), (в; а), (в, б), (в; в).
Більш загальне поняття впорядкованої пари виходить, якщо братье компоненти з різних множин, наприклад: компоненту х з безлічі Х і компоненту у з безлічі У.
Нехай задані два безлічі Х = і Y =. Утворити з елементів цих множин пари так, щоб перша компонента пари належала безлічі Х, а друга безлічі Y. Всі ці пари складають безліч :, яке називають декартовим твором множин Х і Y і позначають Х × Y.
Декартових твором множин Х і Y називають безліч Х × Y, елементами якого є всі пари (х; у) такі, що х € Х, у € Y, тобто
Якщо безлічі Х і Y збігаються, тобто Х = Y, то безліч Х × Х складається з усіх пар (х; у) таких, що х € Х, у € Х
Вважають, що Х × Ø = Ø × Х = Ø для будь-якого безлічі Х.
Декартово твір множин не володіє ні властивістю коммутативности, ні властивістю асоціативності:
1) якщо Х ≠ Y. то Х × Y ≠ Y × Х;
2) якщо жодна з множин X, Y, Z не порожньо, то
Елементи декартова твори двох кінцевих множин зручно розташовувати у вигляді таблиці, де по вертикалі розташовують елементи безлічі Х, по горизонталі - елементи множини Y, а елементи множини Х × Y пишуть на перетинах відповідних рядків і стовпців.
У таблиці зображені елементи декартова твори множин Х = і Y =.
Точка на площині може бути задана впорядкованої парою координат, тобто двома точками на координатних осях. Таким чином. R 2 = R × R. Метод координат ввів у вживання Рене Декарт (1596-1650), звідси і назва «декартовій твір».
Нехай безліч Х складається з n елементів, а безліч Y з m елементів.
Х = 1, х2, ... ..хn> і Y = 1, y2. ym>. Тоді перший компонент впорядкованої пари можна вибрати n способами, другий m способами. Таким чином, всього є n * m упорядкованих пар.
Ступенем безлічі А називається його твір самого на себе. позначення:
Поняття декартова твори множин допускає узагальнення. Твір множин А1, ...., А n - це безліч наборів (кортежів):
Безлічі Аi не обов'язково різні.
Число n називають довжиною кортежу.
Одномісний предикат. Областю визначення предиката. Безліч істинності предиката. Приклад. Тотожно істинні і тотожно хибні предикати.
Логіка предикатів є подальшим розвитком алгебри логіки. Вона містить в собі всю алгебру висловлювань, тобто елементарні висловлювання, які розглядаються як величини, що приймають два значення: істина і брехня, всі операції алгебри логіки і, отже, всі її формули.
Але, крім цього, логіка предикатів вводить в розгляд нове поняття - поняття предиката.
Нехай пропозицію містить змінну, яка може набувати різних значень, причому підстановка будь-якого із значень змінної перетворює пропозицію в істинне або помилкове висловлювання. Тоді ця пропозиція називають одномісним предикатом А (х).
Одномісним предикатом А (х) називається довільна функція змінної х, визначена на множині М і приймаюча значення на безлічі
Приклад: «Поет х написав поему« Полтава »».
Для кожного одномісного предиката треба вказати безліч значень, які може приймати змінна х. Його називають областю визначення предиката.
Для прикладу: Безліч М має бути визначено однозначно - безліч поетів, про яких є статті в «Літературній енциклопедії» останнього видання.
Приклад: предикат Р (х) - «х - парне число» визначено на безлічі Z цілих чисел.
Кожен предикат Р (х), х € М, визначає підмножина Т # 1649; М, що складається з елементів, при підстановці яких у Р (х) замість х виходить справжнє висловлювання. Це підмножина називають безліччю істинності предиката.
Безліч всіх елементів х € М, при яких предикат Р (х) приймає значення «істина», називається безліччю істинності предиката Р (х) і позначається Jp
Якщо Jp = М, то предикат Р (х) називається тотожно істинним, а якщо Jp = Ø. то предикат Р (х) називається тотожно хибним.
Для прикладу Jp = - безліч істинності.
Предикат Р (х) - «х- просте число» визначено на безлічі N, а його безліччю істинності Jp є безліч всіх простих чисел.
Предикат Q (x) - "sinx = 0" визначено на множині R всіх дійсних чисел, а його безліч істинності.