- А чому він згадує Платона?
- Тому що Платон теж займався математикою і дуже цінував її. З його творів вилучено тепер багато даних про стародавню науці. Вважають, наприклад, що він дав визначення поняттю геометричного місця. Додам, до речі, що кубічна парабола - важлива в техніці крива. Наприклад, коли будівельники залізниць розраховують поворот шляху так, щоб поїзд на великій швидкості плавно повернули по рейках, то це закруглення потрібно розраховувати саме по кубічної параболи.
- Мені ще хочеться дізнатися про максимуми, - попросив Іллюша. - Це дуже важко - їх визначити?
- Та ні, - відповідав Радикс, - не так уже й важко. Давай візьмемо приклад. Припустимо, є прямокутник. Які Треба взяти боку у прямокутника, щоб його площа була найбільшою, якщо сума цих двох сторін дорівнює вісімнадцяти?
- Погано я щось розумію цю задачу! - зауважив Іллюша.
- Ти слухай, - відповідав Радикс, - і поступово зрозумієш. Почнемо ось з чого. Нехай наші сторони-множники будуть а й b, а їх сума буде з, тобто
Тепер візьмемо квадрати їх суми та різниці і віднімемо один з іншого:
Так як (а + b) дорівнює с, то ми можемо написати:
ab - c / 4 - (а - b) / 4
Звідси ясно, що оскільки з є величина постійна, то твір ab змінюється тільки залежно від зміни різниці (а-b), але так як квадрат цієї різниці з мінусом, то ясно, що цей твір тим більше, чим менше абсолютна величина різниці ( а-b). Отже, твір двох чисел тоді досягає максимуму, коли абсолютна величина їх різниці досягне мінімуму. Тобі це ясно?
- Ну, поїхали далі! Давай назвемо Ігрек шукане твір. А частини його - одна буде ікс, а інша.
- А інша буде вісімнадцять мінус ікс, - підказав Іллюша.
- Вірно. Отже, ігрек буде записаний так:
Тепер візьмемо різницю наших множників. Назвемо її ігрек зі штрихом, тобто ігрек-штрих:
Так як ми хочемо, щоб цей ігрек-штрих став мінімальним, то пошукаємо, чому повинен дорівнювати ікс, якщо ігрек-штрих стане нулем. І напишемо:
Твір досягає максимуму, коли одна його частина дорівнює дев'яти, а отже, й інша теж дорівнює дев'яти. Іншими словами, максимальну площу з усіх прямокутників з однаковим периметром має квадрат. Складемо табличку. У третій графі її варто не сама різниця, а її абсолютна величина. Далі дев'яти табличку продовжувати не варто: все буде симетрично повторюватися в зворотному порядку.
З двох останніх стовпців видно, що коли множники рівні, то їх різниця, як і годиться, дорівнює нулю, а твір їх стає найбільшим, тобто досягає максимуму.
- Так, - сказав Іллюша. - Дійсно, якщо продовжити табличку і Іксу дати значення "десять", то інший множник дорівнюватиме восьми і твір піде на спад у зворотному порядку. Дійсно, максимум!
- А тепер давай накреслив графік нашого рівняння:
Ти бачиш, що ця крива (а це парабола!) Якраз проходить через найвищу точку, коли ікс дорівнює дев'яти. Що означає з геометричної точки зору та обставина, що для ікси, рівного дев'яти, ігрек-штрих дорівнює нулю? Справа в тому, що ігрек-штрих показує, як змінюється кутовий коефіцієнт дотичної до параболи. А ти, напевно, пам'ятаєш, що цей коефіцієнт дорівнює тангенсу кута нахилу дотичній по відношенню до позитивного напрямку осі абсцис? Ти, напевно, пам'ятаєш і те, що коли крива досягає максимуму, то дотична, природно, розташовується.
- Паралельно осі іксів, тобто горизонтально! - підхопив Іллюша.
- Вірно! Ну, а тепер скажи мені, якою вона в такому випадку утворює кут з віссю абсцис?
- Ніякого кута вона не утворює!
- Ніякого. - перепитав Радикс. - Таким чином, якщо тебе хтось попросить сказати, чи тепло сьогодні на вулиці, то ти подивишся на градусник за вікном, побачиш, нуль градусів, і скажеш, що сьогодні ніякої температури не спостерігається. Так я тебе зрозумів?
- Ні, - сказав Іллюша, зніяковівши, - звичайно, так сказати не можна. Тут я повинен сказати, що кут цей укладає в собі нуль градусів.
- Як раз! - відповідав Радикс. - А тепер скажи мені, чому дорівнює тангенс нуля градусів?
- Ну, так ось ігрек-штрих і дає цей самий нуль. Ось як проводиться вишукування максимумів або мінімумів! Це одна з найважливіших завдань в диференціальному обчисленні. Цією справою дуже багато і плідно займалися Ферма і Паскаль. Втім, завдання, яке ми зараз розбирали, була вирішена ще грецьким математиком Нікомаха в другому столітті нашої ери.
- А насправді, коли математики шукають максимум, вони теж так роблять, як ти мені зараз показував, або ти це тільки для мене придумав?
- Так робили в старі часи, в часи Ферма, наприклад.
А зараз це роблять трошки не так. Сенс дій, втім, один і той же.
- А як це тепер робиться?
- Ну що ж, давай спробуємо здолати і цю премудрість.
Якщо ми візьмемо ту ж саму функцію та ще пригадаємо те, як ми міркували з питання про перетворення січною в дотичну в попередній схолії, то впоратися з цим буде не так уже й важко. Для цього нам необхідно, як ти, ймовірно, пам'ятаєш, досліджувати параболу з точки зору зміни. Ну-ка, скажи мені: зміни чого?
- Я думаю, - досить жваво відповідав Іллюша, - що мова піде про зміну швидкості, з якою росте функція.
- Правильно. Отже, приступимо до вивчення зміни швидкості зміни функції. Для цього дамо незалежної змінної, тобто Іксу, якесь збільшення, яке ми позначимо через Δх. Тут Δ - НЕ множник, а також заміна слово "прирощення" прописна грецька буква "дельта", яка читається, як наше "Д". А читається формула просто: "дельта ікс".
Приріст це не дуже велика, не дуже й маленьке, але, в загальному, кінцеве. Тепер оскільки ікс, незалежна змінна, отримав якесь збільшення (ну, припустимо, що ікс у нас дорівнював двом, а тепер буде два і нуль-нуль-три після коми), то, так як ігрек є змінна.
- Залежна! - підказав швидко Ілля. -. а отже, і вона повинна теж. Що також?
- Теж одержить збільшення.
- Відповідь гідний. І ми назвемо це приріст Ау, тобто "дельта ігрек". Коли ми знайдемо збільшення, то візьмемо їх ставлення. Якщо все це зобразити на кресленні, то легко помітити, що виходить той же самий чудовий характеристичний Паскаль прямокутний трикутник, який ти бачив на сторінці. (Не сплутаєш тільки цей Паскаль трикутник з іншим, біноміальним Паскалева трикутником, про який йшла мова в Схолії Сьомий!