Так як в подальшому ми будемо використовувати матричні методи обчислень, то слід використовувати більш загальне визначення скалярного твори. Визначимо матрицю як таблицю
скалярів. Елементи називаються елементами прямокутної матриці розміром, є число рядків, - число стовпців матриці. Матриця розміру називається вектор-стовпцем, а матриця розміру - вектор-рядком; число називається розмірністю вектора.
Згідно з визначенням, твір матриці розміру на матрицю розміру є матриця розміру, причому елементи матриці визначаються формулою:
Елемент матриці є сумою добутків елементів -ої рядки матриці на елементи -ого стовпця матриці. Число стовпців матриці має дорівнювати числу рядків матриці. Тому зворотне твір може не існувати. Якщо обидві матриці квадратні, то твір визначено, але, взагалі кажучи.
Виходячи з цього визначення отримаємо, що скалярний добуток дорівнює добутку вектор-рядка на вектор-стовпець, і (2.6) можна записати у вигляді:
Зворотне твір (твір вектор-стовпця на вектор-рядок) є матрицею. Щоб властивості скалярного твори не змінилися, співвідношення (2.4) слід переписати з урахуванням формул додавання і множення матриць. Зокрема, якщо символом позначити операцію транспонування, то. Нагадаємо, що матриця розміру з елементами називається транспонованою по відношенню до матриці розміру з елементами, тобто рядки і стовпці міняються місцями. Тоді з урахуванням визначення операції транспонування скалярний твір записується у вигляді
Повернемося до властивості (2.1). У більш загальному вигляді його можна записати у вигляді:
Параметри, що входять в (2.11), називаються власними значеннями матриці. Як ми покажемо нижче, власні значення характеризують напрямки осей системи координат, в яких компоненти векторів і паралельні.
Очевидно, що система (2.11) має рішення, яке не дає нам ніякої інформації. Щоб система (2.11) мала нетривіальне рішення, детермінант матриці повинен дорівнювати нулю:
Рівняння (2.12) є поліномом щодо параметра. Відомо, що корінням полінома можуть бути як дійсні, так і комплексні числа. Але з фізичної точки зору параметри повинні бути дійсними числами. Ця умова накладає певні вимоги на величини недіагональних елементів матриці. Найпростіше це показати для матриці розміром, тобто для двомірних векторів і. Так як детермінант матриці дорівнює
то з умови реальності коренів цього рівняння
випливає, що . Значить, матриця повинна бути симетричною.
Якщо власні значення знайдені (позначимо їх як), то маємо:
Так як, то з визначення скалярного твори слід перпендикулярність власних векторів.
У тривимірному просторі три власних вектора визначають три взаємно-перпендикулярних напрямки, які можна вибрати в якості осей декартової системи координат. Вони називаються головними осями тензора. Уздовж головних осей вектори і паралельні. Діагональні елементи тензора в системі головних осей називаються головними моментами тензора. і стосовно до кожної конкретної задачі мають особливе значення.
На рис. 2.4 головні осі тензора показані пунктирною лінією. В системі головних осей недіагональні компоненти тензора дорівнюють нулю. Це легко показати, використовуючи приклад, розглянутий вище. Власні значення матриці рівні. Компоненти власних векторів можуть бути знайдені з точністю до довільної сталої:,. Звідси отримаємо, що кут між вектором і віссю дорівнює, а між вектором і віссю дорівнює. Визначимо тепер осі нової системи координат,, направивши їх уздовж векторів,, відповідно. Перетворення від координат до координат, як буде показано нижче, можна записати у вигляді матричного рівняння:
де - матриця обертання (див. стор.). Для розглянутого прикладу матриця дорівнює:
Формула перетворення компонент тензора при переході від координат до має вигляд:
де - компоненти матриці. Виконавши підсумовування, знайдемо компоненти тензора в системі головних осей:
У розділі 4 ми розглянемо системи координат, пов'язані із Землею. Особливе значення має система координат, яка визначається головними моментами інерції Землі або осями фігури Землі.
Умова рівності нулю скалярного твори визначає перпендикулярність векторів, але не залежить від їх взаємної орієнтації. Так, якщо одиничні вектори декартової системи координат лежать в площині сторінки, то третій вектор, перпендикулярний і, і, може бути направлений або вгору, або вниз. Залежно від напрямку система координат називається лівої чи правої.
Вибрати ту чи іншу систему координат можна за допомогою векторного добутку векторів.
Визначення 2.2.2Векторное твір двох векторів є вектор, перпендикулярний і, і, модуль якого дорівнює
а його напрямок збігається з напрямком руху правого гвинта при його повороті від до на кут, менший.
Якщо, то вектори і паралельні (або антіпараллельни). У прямокутній системі координат отримаємо:
Компоненти вектора, рівного векторному добутку, в декартовій системі координат можна знайти, обчисливши наступний визначник: