Арифметичний корінь n-го ступеня.
Визначення. Арифметичним коренем n-го ступеня з числа a називають невід'ємне число, n-й ступінь якого дорівнює а.
Арифметичний корінь позначають n √a. Число n називають показником кореня. а саме число a - подкоренное виразом. Знак кореня √ називають радикалом.
При парних n функція f (x) = x n парна, отже, якщо a> 0, то рівняння x n = a крім кореня x1 = n √a, має так само корінь x2 = - n √a. Якщо a = 0, то корінь усього один: x = 0. якщо a<0, то это уравнение корней не имеет, так как четная степень любого числа неотрицательна.
Таким чином, при парному n існують два кореня n-го ступеня з будь-якого позитивного числа a. Корінь n-го ступеня з числа 0 дорівнює нулю, а коренів парного степеня з негативних чисел не існує.
При непарних значеннях n функція f (x) = x n зростає на всій числовій прямій, її область значень - безліч всіх дійсних чисел. Застосовуючи теорему про корінь. знаходимо, що рівняння x n = a має один корінь для будь-якого значення a, і, зокрема, при a<0. Этот корень для любого значения а, в том числе и нечетного, обозначают n √a.
Резюмуючи вищесказане, можна зробити висновок: прінечетном n існує корінь n-го ступеня з будь-якого числа a і притому тільки один.
Для коренів непарного степеня справедливо рівність:
Доводиться це рівність просто.
(- n √a) n = (- 1) n (n √a) n = -1 * a = -a. тобто число - n √a є корінь n-го ступеня з -а, але такий корінь при непарному n єдиний, отже n √a = - n √a.
Вищенаведене рівність поволяет висловлювати і обчислювати корені з непарної ступенем з негативних чисел.
Для будь-якого дійсного x: n √a n = | x |, якщо n парне; n √a n = x, якщо n непарне.
Вважають, що корінь першого ступеня з числа дорівнює цьому ж числу. Квадратним коренем називають корінь другого ступеня (при цьому показник ступеня опускають і пишуть просто знак радикала). Корінь третього ступеня називають кубічним коренем.