Теорема. (Мала теорема подвійності)
Для су-ществованія оптимального плану будь-який з пари двойст-ських завдань необхідно і достатньо існування допустимого плану для кожної з них.
§5. Основні теореми подвійності
Якщо одна з двоїстих задач має оптимальне рішення, то і інша має оптимальне рішення, причому екстремальні значення цільових функ-цій рівні:. Якщо одна з двоїстих задач нерозв'язна внаслідок необмеженості цільової функції на множині допустимих рішень, то система обмежень іншої задачі суперечлива.
Теорема. (Про що доповнює нежорсткості)
Для того, щоб плани і пари двоїстих задач були оптимальними, необхідно і достатньо виконання умов:
Умови (1), (2) називаються умовами додат-няющих нежорсткості. З них випливає: якщо будь-яке обмеження одним із завдань її оптимальним планом обра-ється в суворе нерівність, то відповідна компо-нента оптимального плану двоїстої задачі повинна дорівнювати нулю; якщо ж якась компонента опти-мального плану однієї з задач позитивна, то відпо-ціалу обмеження в двоїстої завданню її опти-ною планом має звертатися в суворе рівність.
Економічно це означає, що якщо по деякому оптимальному плану виробництва витрата i -го ресурсу строго менше його запасу, то в оптимальному плані відповідна двоїста оцінка одиниці це-го ресурсу дорівнює нулю. Якщо ж в деякому оптимальному плані оцінок його i -я компонента строго більше нуля, то в оптимальному плані виробництва витрата відповідаю-ного ресурсу дорівнює його запасу. Звідси випливає висновок: двоїсті оцінки можуть служити мірою дефіцитності ресурсів. Дефіцитний ресурс (повністю використовується по оптимальному плану виробництва) має позитивними-ву оцінку, а ресурс надлишковий (використовуваний в повному обсязі) має нульову оцінку.
Теорема. (Про оцінки). Двоїсті оцінки поки-викликають приріст функції мети, викликане малим через трансформаційних змін вільного члена відповідного ограниче-ня завдання математичного програмування, точніше
§6. Приклади економічних задач
5.1 Завдання про найкращому використанні ресурсів. Нехай деяка виробнича одиниця (цех, завод, об'єд-нання і т. Д.), Виходячи з кон'юнктури ринку, технічних або технологічних можливостей і наявних ресур-сов, може випускати n різних видів продукції (то-варів), відомих під номерами, позначаються індекс інфляції-сом j. Її будемо позначати. Підприємство при виробництві цих видів продукції повинно ограни-Чіван наявними видами ресурсів, технологій, дру-гих виробничих факторів (сировини, напівфабрикатів, робочої сили, устаткування, електроенергії і т. Д.). Всі ці види обмежуючих факторів називають Інграм-діентамі. Нехай їх число дорівнює m; пріпішем їм індекс i. Вони обмежені, і їх кількості рівні відповідно умовних одиниць. Таким обра-зом, - вектор ресурсів. Відома економічна вигода (міра корисності) виробництва продукції кожного виду, що обчислюється, скажімо, по відпустку-ної ціни товару, його прибутковості, витрат виробництва, ступеня задоволення потреб і т. Д. При-мем в якості такого заходу, наприклад, ціну реалізації
, т. е. вектор цін. Відомі також технологічні коефіцієнти, кото-які вказують, скільки одиниць i-го ресурсу потрібно для виробництва одиниці продукції j-го виду. Матрицю коефіцієнтів називають технологічної та обо-позначають буквою А. Маємо. Позначимо через план виробництва, що показує, які види товарів потрібно вироб-дить і в яких кількостях, щоб забезпечити технологічне-тію максимум обсягу реалізації при наявних ре-ресурсах.
Так як - ціна реалізації одиниці j'-й продукції, вартість реалізованих одиниць буде дорівнює, а загальний обсяг реалізації
Цей вислів - цільова функція, яку потрібно мак-сімізіровать.
Так як - витрата i-го ресурсу на виробництво одиниці j-ї продукції, то, підсумувавши витрата i-го ресурсу на випуск всіх n видів продукції, отримаємо загальну витрату цього ресурсу, який не повинен превосхо-дить одиниць:
Щоб шуканий план був реалізований, поряд з обмеженнями на ресурси потрібно накласти умову невід'ємності на обсяги випуску продукції:
Таким чином, модель задачі про найкращому використанні ресурсів набуде вигляду: