У 1947 році сім'я перебирається в Єреван, і Альберт надходить до технікуму фізичної культури, де починає займатися спортивною гімнастикою, і згодом, вже ставши чемпіоном, закінчує Вірменський державний інститут фізичної культури.
В Єревані Азарян закінчив фізкультурний технікум і почав тренуватися у Симона Карагезян. Уже в 1950-х прийшли перші перемоги: він 11 разів поспіль ставав чемпіоном СРСР. А в 1953-му вперше виконав свій знаменитий «хрест», причому фігура вийшла випадково: на змаганнях були занадто строгі судді, і Азарян повертався до кожного з них, щоб зрозуміти, чи задоволені вони виступом. Скоро хрест Азарян стане візитною карткою спортсмена і запорукою його перемог.
Перший світовий чемпіонський титул спортсмен отримує в Римі в 1954 році, виконавши «косий хрест» на кільцях з відведеними руками і поворотом на 90 градусів, який справив фурор на світовій арені, - знаменитий "хрест Азарян», що став одним з шести вірменських елементів світової гімнастики .
Після змагань до Азаряну підійшов захоплений італійський уболівальник і сказав: «У 66 році тут, в Римі імператор Нерон оголосив ТрдатаIкоролем Вірменії. Всім відомо, що Трдат отримав корону не завдяки молитвам, а завдяки своїм рукам. Сьогодні я щиро радий, що в тому ж Римі вас проголосили чемпіоном світу. Часи королів пройшли. Тепер ви їх нащадок ».
У 1956 і 1960 - на Олімпіадах у вправах на кільцях (1956 Азарян отримав золото ще й у командній першості). Слава спортсмена була такою великою, що в 1962 році режисер Юрій Ерзнкян зняв на кіностудії «Арменфільм» художній фільм «Кільця слави» про долю молодого сільського коваля, який став чемпіоном світу по кільцях. Звали героя Армен Назарян. Фактично самого себе на екрані виконав сам Азарян, а його тренера зіграв Хорен Абрамян.
Про те, як народився знаменитий елемент, Альберт Азарян розповідав в одному з інтерв'ю: «Збірна Вірменії в 1953 році брала участь на змаганнях в Ленінграді. Наша команда була на другому місці, ми були за крок від перемоги, але у нас були низькі бали за вправи на кільцях - спортсменам не вдавалося протриматися три секунди при виконанні хреста. Я повинен був виступати в кінці. Обурений такою ситуацією, я повис на кільцях і, перш ніж завершити вправу, вирішив по черзі запитати всіх членів журі, чи вистачить тримати. Спочатку я запитав двох сидячих навпроти, потім повернувся до ще двом членам журі, що сидять ззаду. В результаті вийшов азаряновскій хрест. Мене потім хотіли дискваліфікувати, оскільки розмова під час виконання вправи - жорстке порушення правил. Однак один з членів суддівської колегії заявив, що я вперше зробив хрест по-новому, так, як до мене ніхто не виконував, і мене пробачили ».
До сих пір нікому з гімнастів в світі не вдалося так само чисто виконати цей елемент - не вистачає сил утримати стійку. Там же, в італійській столиці, радянського вірменського чемпіона прозвали «королем кілець», і це звання закріпилося за ним на роки блискучих перемог вперед. Він не був переможений ні в одних міжнародних змаганнях.
Примітно, що під час своїх виступів, виконуючи елементи, Азарян посміхався, навіть коли завмирав в складному «хресті».
Завершивши спортивну кар'єру, Альберт Азарян став займатися суддівством міжнародних змагань та керувати єреванській дитячо-юнацькою спортивною школою олімпійського резерву з гімнастики. На сьогоднішній день школа, вже 15 років носить його ім'я, підготувала понад 8 тисяч юних спортсменів, серед них і син Азарян Едуард - олімпійський чемпіон 1980 року, чотириразовий чемпіон СРСР (нині живе в США і займається тренерською діяльністю в створеному ним каліфорнійському центрі гімнастики) . До слова, Азарян в гімнастиці єдина сім'я, в якій батько і син - олімпійські чемпіони.
З сином Едуардом
Сам «король кілець», побувавши в півсотні країн, кілька років пропрацювавши в Голландії і не раз отримуючи вигідні пропозиції тренерської діяльності за кордоном, ніколи не думав розлучитися з Вірменією. За його словами, навіть відвідуючи сина, він не може більше тижня перебувати поза батьківщиною.
Крім керівництва школою, Азарян очолює Федерацію гімнастики Вірменії. Ставний, підтягнутий, в прекрасній формі, Альберт Вагаршакович залишається дуже активним і діяльним.
Дружина, Ліза Грайровна, - в минулому теж гімнастка, чемпіонка республіки у вільних вправах, заслужений майстер спорту. У родині Азарянов четверо дітей, сім онуків і чотири правнуки.