Як всяке кільце, поле є групою щодо операції додавання. Всі елементи поля, не рівні нулю, утворюють групу щодо операції множення. Справді, якщо a ≠ 0 і b ≠ 0, то рівняння ax = b має рішення q ≠ 0, т. К. A · 0 = 0 ≠ b (див. Теорема 1). Тому властивості множення IV, V (див. Визначення 1) і VII доводять наше твердження. Група по складанню всіх елементів поля називається адитивною. а група по множенню всіх його елементів, відмінних від нуля, - мультипликативной групою поля. Поле цілком визначається завданням двох цих груп, завданням творів нуля на всі елементи і вимогою дистрибутивного закону для будь-яких його елементів, включаючи нуль. Звідси вже випливає, що твір будь-якого елементу на нуль дорівнює нулю (див. Теорема 1).
З властивостей мультипликативной групи (див. Теорема 1) випливає, що в поле існує одиниця, т. Е. Такий елемент e. що ae = ea = a для будь-якого a з P. Справді, для a ≠ 0 це випливає з властивостей одиниці групи, а для a = 0 - з властивості нуля при множенні. Далі, для будь-якого a ≠ 0 існує зворотний елемент a -1 такої, що aa -1 = a -1 a = e. При цьому одиниця e і зворотний елемент a -1 для даного a визначаються однозначно.
Якщо в кільці існує одиниця, то тільки одна, т. К. Якщо e1 і e2 - одиниці, то e1 = e1e2 = e2. Якщо для елемента a кільця з одиницею існує зворотний елемент, то тільки один, т. К. Якщо b і c - зворотні елементи для a. то b = bac = c.
Але в кільці з одиницею може і не бути зворотних елементів, як, наприклад, в кільці цілих чисел. Існують також кільця без одиниці, як, наприклад, кільце парних чисел або кільце цілих чисел, кратних числу n> 1.
Якщо в кільці R існує одиниця e ≠ 0 і для будь-якого a ≠ 0 існує зворотний елемент a -1. то елементи кільця, відмінні від нуля, утворюють групу з множенню (групи), і значить, кільце R буде полем.
Так як мультиплікативна група поля коммутативна, то множення володіє зворотною операцією - діленням. При цьому частка однозначно визначено для будь-якого a. не дорівнює нулю, і будь-якого b. Для b ≠ 0 це випливає з властивостей мультипликативной групи поля (групи), а для b = 0 маємо:, так як a · 0 = 0. Додаткова вимога a ≠ 0, що входить в властивість VII, порушує симетрію властивостей додавання і множення поля. Відкинути цю вимогу і тим самим відновити зазначену симетрію, проте, неможливо. Справді, рівняння ax = b при a = 0 і b ≠ 0 не має рішення в поле або навіть в кільці, що містить елементи, відмінні від нуля. Дійсно, якщо q - рішення зазначеного рівняння, то aq = 0 · q = 0 = b. це неможливо. Тому поділ на нуль неможливо, якщо ділене відмінно від нуля. Приватне може дорівнювати будь-якого елементу кільця, так як для будь-якого q маємо: 0 ≠ q = 0.