1) А. н. інтеграла- властивість невизначеного інтеграла (Лебега). Нехай функція f -інтегріруема на безлічі Е. Інтеграл від f на -ізмерімих подмножествах є абсолютно неперервною функцією (див. Нижче - п. 3) безлічі щодо заходів m, т. Е. Для будь-якого знайдеться таке що інтеграл для будь-якого безлічі У загальному випадку інтеграл по звичайно адитивної функції безлічі m як зі скалярними, так і з векторними f або m є абсолютно безперервна функція.
А. П. Терьохін, В. Ф. Ємельянов.
2) А. н. мери- поняття теорії міри. Міра зв. абсолютно безперервної щодо заходів якщо - абсолютно неперервна функція безлічі щодо Так, нехай - кінцева міра, задана з m на деякої фіксованої -алгебри G; тоді абсолютно неперервна відносно якщо з слід Узагальнена кінцева міра v абсолютно неперервна відносно узагальненої заходи якщо як тільки де - повна варіація А. П. Терьохін. 3) А. н. функції-посилення поняття безперервності. Функція визначена на відрізку зв. абсолютно безперервної, якщо для будь-якого існує таке що для будь-якої кінцевої системи попарно непересічних інтервалів для якої
Будь-яка абсолютно безперервна на відрізку функція неперервна на цьому відрізку; зворотне невірно, напр. функція f (x) = xsin (1 / x) при будучи безперервної на відрізку [0, 1], не є на ньому абсолютно неперервною. Якщо у визначенні абсолютно неперервної функції, відкинути вимогу порожнечі попарних перетинів інтервалів то функцій буде задовольняти більш сильному умові - Ліпшиця умові з деякої постійної.
Якщо функції абсолютно неперервні, то абсолютно неперервні і їх сума, різниця і твір, а якщо не звертається в нуль, то і приватна Суперпозиція двох абсолютно неперервних функцій може і не бути абсолютно неперервною. Однак, якщо функція f (x) .Абсолютно неперервна на відрізку а функція задовольняє умові Ліпшиця на відрізку [А, В], то складна функція абсолютно неперервна на відрізку Якщо абсолютно безперервна на функція монотонно зростає, а функція F (у) .Абсолютно неперервна на відрізку то функція також абсолютно неперервна на
Абсолютно безперервна функція відображає безліч заходів нуль в безліч заходів нуль, а вимірна множина в измеримое. Будь-яка безперервна функція з кінцевої варіацією, що відображає кожне безліч заходів нуль в безліч заходів нуль, є абсолютно неперервною функцією. Будь-яка абсолютно безперервна функція може бути представлена як різниця двох абсолютно безперервних неубутних функцій.
Абсолютно безперервна на відрізку функція має на ньому кінцеву варіацію і майже в кожній його точці - кінцеву похідну сумовною на цьому відрізку, причому
Якщо похідна абсолютно неперервної функції майже всюди дорівнює нулю, то сама функція постійна. З іншого боку, для будь-якої сумовною на відрізку функції функція абсолютно неперервна на цьому відрізку. Тому клас абсолютно безперервних на даному відрізку функцій збігається з класом функцій, які представлені у виді невизначеного інтеграла Лебега: інтеграла Лебега із змінною верхньою межею від деякої сумовною функції плюс постійна.
Якщо абсолютно неперервна на те її повна варіація дорівнює:
Поняття А. н. узагальнюється як на випадок функцій багатьох змінних, так і на випадок функцій множин (див. нижче - п. 4).
4) А. н. функції множества- поняття, яке вживається зазвичай стосовно лічильно аддитивним функціями, визначеними на -Кільця Sподмножеств безлічі X. Так, якщо - дві певні на Sсчетно адитивні функції зі значеннями з розширеною числової прямої то абсолютно неперервна відносно (символічно це записується у вигляді), якщо тягне (тут | m | - повна варіація m: