У першому випадку вектори колінеарні, у другому - сонаправлени.
Визначення: Система компланарності. а вектори - компланарні. якщо вектори знаходяться в одній площині або на паралельних площинах.
(Два вектора завжди компланарність.)
(Вектор, у якого кінець і початок збігаються - нуль-вектор)
Цей вектор не має напрямку і коллінеарен будь-якому вектору.
1. вони колінеарні
2. рівні по довжині
3. спрямовані в одну сторону
Визначення: Якщо вектори колінеарні, рівні по довжині, спрямовані в різні боки, то вони протилежні.
Визначення: Безліч всіх векторів, рівних заданому, називається вільним векторах.
Ця тема належить розділу:
Визначники го порядку. Визначником го порядку є вираз виду. де і деякі числа Визначники го порядку Правило Саррюс Перші властивостей.
Що будемо робити з отриманим матеріалом:
Всі теми даного розділу:
Визначники 3-го порядку. правило Саррюс
Правило Саррюс діє для обчислення визначників 3-го порядку (але не вище!). Працює воно так: складаються твір елементів на головній діагоналі (тієї, що випливає з верхнього лівого уг
Перші 10 властивостей визначника
1) При транспонировании (заміні рядків на стовпці і навпаки) визначник не змінюється. Для доказу потрібно знайти символічну формулу визначника хоча б 3-го
Мінори та доповнення
мінор є визначник, отриманий з даного в результаті "викреслювання"
Метод математичної індукції
Позначимо через P (n) деякий висловлювання (наприклад, «в Лондоні знову йде дощ»). Тоді Теорема: нехай про деякі властивості висловлювання, що діють на певному проміжку,
Верхньо трикутний визначник
Визначення: верхній трикутний визначник (СОТ) - визначник, у якого всі елементи нижче головної діагоналі дорівнюють нулю:
додавання матриць
Додавання матриць проводиться з матрицями одного порядку. Визначення: Якщо А =
Б) Множення матриць
Відзначимо, що число стовпців першого множника А має збігатися з числом рядків другого множника В (інакше твір А
Системи лінійних рівнянь
Визначеність системи лінійних рівнянь. Спільність, несумісні (6.1) Определ
Поняття елементарного перетворення
Елементарним перетворенням рядків 1-го типу називається: або 1) заміна рядків місцями; або 2) множення рядка на число
Еквівалентні матриці і системи
Матриці А і В називаються еквівалентними, якщо одну з них можна отримати з іншої за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень рядків. відповідно разли
Ступінчасті матриці; зведення матриці до ступінчастою
Ступінчастою називається матриця такого виду: / при переході до наступного рядка «вниз» йдемо не більше, ніж на один ненулев
діагональні матриці
Матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, що стоять поза головною діагоналі, дорівнюють нулю. Має місце наступна теорема: Будь Неви
Визначення ступінчастою матриці
Як було згадано раніше (див. П.9.3; визначення 9.5), ступінчастою називається матриця такого виду:
Доказ необхідності теореми Кронеккера-Капеллі
(Її достатність буде доведена в кінці §19) Відзначимо, що r (B) ≥r (A), бо якщо r (B) = k, то всякий
доказ теорем
Доказ теореми 16.1: (Дивись п14.2 (§14) правило 1) визначення) Якщо
Рішення неоднорідних систем
Теорема 19.3: Загальне рішення неоднорідної системи (19.1) представляється у вигляді сум приватного рішення (19.1) і спільного рішення відповідної однорідної системи
Доказ достатності теореми Кронеккера-Капеллі
Вважаючи в системі (19.2): Ax = b все вільні невідомі нулями, отримаємо систему: (19.18), де
Визначення змішаного твори
Визначення. Змішаним твором векторовназивается величина
Загальне рівняння площини та його дослідження
Тут ми будемо вивчати загальне рівняння площини (36.4), тобто розглядати як особливі випадки, коли будь-які (будь-якої) з коефіцієнтів A, B, C або D наближається до нуля (з урахуванням обмежувально
Рівняння площини у відрізках
У §36 (36.2) було показано, що рівняння площині, не паралельній жодній з координатних осей і не проходить через початок координат, можна звести до вигляду:
Загальне рівняння прямої в просторі
Як уже повідомлялося в параграфі 37, система рівнянь (37.3) з умовою r (# 946;) = 2 задає в просторі пряму лінію тому система
А) еліпсоїд
Елліпсоідомназивается поверхню, координати всіх точок якої в деякій системі координат задовольняють рівняння
Б) Однопорожнинний гіперболоїд
Однополостного гіперболоїдом називається поверхню, координати всіх точок якої в деякій системі координат мають рівняння
В) двуполостной гіперболоїд
Двуполостной гіперболоїдом називається поверхню, координати всіх точок якої в деякій системі координат задовольняють рівняння
Д) Гіперболічний параболоїд
Гіперболічний параболоідомназивается поверхню, координати всіх точок якої в деякій системі координат задовольняють рівняння.
Е) Циліндричні поверхні другого порядку
Ціліндріческойбудем називати поверхню, що задовольняє наступній умові: Існує така пряма лінія
еліптичний циліндр
Визначення 47.8 еліптичні циліндром називається поверхню, координати всіх точок якої в деякій системі задовольняють рівняння
II. гіперболічний циліндр
Визначення 47.9 гіперболічних ціліндромназивается поверхню, координати всіх точок якої в деякій системі координат задовольняють рівняння:
III. параболічний циліндр
Визначення 47.10. Параболічних циліндром називається поверхню, координати всіх точок якої в деякій системі координат задовольняють рівняння:
Ж) Конус другого порядку
Конусом другого порядку називається поверхню, координати всіх точок якої в деякій системі координат задовольняють рівняння
З), що розпадаються, і вироджені поверхні другого порядку
Залишилося розглянути множини, задані рівняннями (35.21), (35.23), (35.30), (35.31), (35.32), (47.7), (47.22) і (35.20) Визначення 47.16.Поверхность другого порядку застосування ПСП