У гідродинаміці прийнята струйчатая модель потоку, згідно з якою потік рідини являє собою сукупність цівок вельми малого поперечного перерізу (рис. 3.1). Ідеальною рідиною називається умовна рідина, яка не змінює свого об'єму і в ній відсутня в'язкість.
Розглядаючи окремі елементарні струмки, припускають, що вони мають незмінну форму в часі, обмін частками рідини між сусідніми елементарними цівками виключений, а швидкості u однакові по всьому поперечним перерізом цівки dw, нормальному до напрямку швидкості u. Таке поперечний переріз називається живим перетином елементів-тарної цівки.
Елементарний витрата рідини через живий переріз дорівнює добутку швидкості на площу живого перетину цівки:
.
При усталеному русі для двох довільно вибраних живих перетинів справедливо гідравлічне рівняння нерозривності елементарної цівки:
,
тобто швидкості в різних перетинах елементарної цівки обернено пропорційні площам живих перетинів.
Рівняння Бернуллі для елементарної цівки ідеальної рідини.
Рівняння Бернуллі для елементарної цівки ідеальної рідини дає зв'язок між величиною гідро-динамічного тиску р і швидкістю руху частки u в будь-якій фіксованій точці елементарної цівки. Для двох перетинів 1-1 і 2-2:
.
З геометричної точки зору тут:
z - висота, яка відлічується від площини порівняння до довільної точки живого перетину, і звана висотою положення.
Другий доданок рівняння - називають пьезометрической висотою або висотою тиску.
Доданок прийнято називати швидкісною висотою або швидкісним напором.
Сума висот положення і тиску називається пьезометрические напором.
Сума п'єзометричного і швидкісного напорів, що представляє собою суму трьох членів рівняння Бернуллі, називається повним напором H.
З енергетичної точки зору сума трьох членів рівняння Бернуллі є повною питому енергію рідини, що рухається (тобто енергію частинки рідини, віднесену до одиниці її ваги).
Нагадаємо, що всі члени рівняння Бернуллі, виражені в одиницях довжини, віднесені до одиниці ваги рідини, що рухається.
де: L - символ довжини;
Е - символ енергії.
Енергія, віднесена до одиниці ваги, як відомо, називається питомою енергією. Таким чином, кожен з членів рівняння Бернуллі є певний вид питомої енергії рідини, що рухається.
Для виявлення енергетичного сенсу рівняння Бернуллі розглянемо спочатку деяку частину елементарної цівки масою m і обсягом W. володіє швидкістю u і відчуває гідродинамічний тиск p (рис. 3).
Якщо ця маса знаходиться на висоті z від площини порівняння Про - О, то потенційна енергія маси цівки m. залежить від положення, буде дорівнює її вазі, помноженому на висоту підняття, тобто m.g.z. звідси питома потенційна енергія положення буде дорівнює:
Таким чином, перший член рівняння Бернуллі -z з енергетичної точки зору являє собою питому енергію положення рухомої рідини.
Так як маса струмки займає обсяг W і відчуває тиск p. то потенційна енергія тиску буде p.W .Оскільки вага рідини в об'ємі W можна висловити, як g.W. то питома потенційна енергія тиску визначиться співвідношенням:
.
Звідси видно, що в енергетичному сенсі член в рівнянні Бернуллі являє собою вид питомої потенційної енергії, обумовленої гідродинамічним тиском і званої питомою енергією тиску рідини, що рухається.
Сума питомих енергій положення і тиску називається питомою потенційною енергією рухомої рідини - Eп.
.
Третій член рівняння Бернуллі виражає собою величину питомої кінетичної енергії ЄК рухомої рідини.
Дійсно, кінетична енергія, якою володіє маса m, що рухається зі швидкістю u буде. Якщо ж цю енергію віднести до одиниці ваги (тобто розділити на m.g), то легко отримати, що
.
Звідси видно, що сума трьох членів рівняння Бернуллі є повною питому енергію рідини, що рухається e. яка складається з питомої енергії потенційної енергії Eп (яка дорівнює сумі питомої енергії положення і тиску) і питомої кінетичної енергії ЄК. тобто
.
Переписавши це рівняння для двох частинок (1 і 2), що знаходяться в одній елементарної цівки, або для двох положень однієї і тієї ж частинки рідини, що рухається. ми зауважимо, що
Тобто сума питомої потенційної і кінетичної енергії по довжині елементарної цівки залишається постійною.
Рівняння Бернуллі в формі (1 - 8) або (1 - 9) дозволять чітко визначити взаємозв'язок між питомої потенційної і кінетичної енергією і перетворенням одного виду енергії в інший (наприклад, частини потенційної енергії в кінетичну або навпаки). Тому рівняння Бернуллі є приватне вираз загального закону збереження енергії.
Резюмуючи сказане вище, енергетичний сенс рівняння Бернуллі можна коротко сформулювати наступним чином: при сталому русі ідеальної рідини питома енергія не змінюється по довжині елементарної цівки.
Рівняння Бернуллі для двох перерізів потоку сталому плавно змінюється русі рідини.
Живим перерізом потоку, називається поверхню, нормальна в кожній своїй точці до напрямку швидкості u. В окремих приватних випадках руху рідини живий перетин потоку є плоским або майже плоским.
Рух, близьке до прямолінійного і параллельноструйному, називається плавно мінливих рухом.
Витратою потоку Q називається обсяг рідини, що проходить через дане живий перетин в одиницю часу.
Середньою швидкістю течії називається відношення
,
де w - площа живого перетину.
Рівняння нерозривності для потоку рідини має вигляд:
,
тобто в сталому потоці рідини середні швидкості руху обернено пропорційні площам живих перетинів.
Витрата Q. площа живого перетину потоку w, середня швидкість v називаються основними гідравлічними елементами потоку.
Для двох перетинів потоку при сталому плавно змінюється русі рівняння Бернуллі має вигляд:
.
Тут: z - відстань від довільно обраної точки в живому перетині w до площини порівняння;
p - гідродинамічний тиск, певне в тій же точці живого перетину потоку;
g - питома вага рідини;
v - середня швидкість в живому перетині w;
g - прискорення сили тяжіння;
a - коефіцієнт нерівномірності розподілу швидкостей в живому перетині; виконаними дослідженнями встановлено, що середнє значення коефіцієнта a для сталого плавно змінюється руху в річках, каналах і трубах становить a @ 1,03 ... 1,10. У багатьох практичних випадках гідравлічних розрахунків (наприклад, при розрахунку труб) цим невеликою відмінністю коефіцієнта a від одиниці нехтують, приймаючи a = 1,0.
hw - втрата напору, витрачена на подолання гідравлічних опорів в дорозі між першим і другим перетином.
Умови застосування рівняння Бернуллі для потоку рідини:
а) воно може застосовуватися лише до таких двох перетинах, поблизу яких потік задовольняє умовам плавної змінності. В дорозі між розглянутими перерізами умови плавної змінності можуть і не дотримуватися;
б) двочлен в рівнянні Бернуллі можна відносити до будь-якій точці (по висоті) кожного з двох обраних перетинів потоку, для яких пишеться рівняння.
Розглянемо кілька прикладів завдань гідростатики.
Визначимо швидкість витікання ідеальної рідини v через отвір з бака під напором H.
Як площині порівняння вибираємо горизонтальну площину o-o, збігається з віссю отвору. Напишемо рівняння Бернуллі для перетину 1 - 1 на рівні вільної поверхні рідини і 2-2 - вертикального перетину, що проходить через струмінь рідини біля отвору:
В даному випадку при прийнятої площині порівняння маємо:
; ; тому площа бака істотно більше площі отвору приймаємо; Далі маємо; .
Оскільки ідеальна рідина не має в'язкості, втрати напору на тертя hw = 0. Швидкість v2 = v - потрібно визначити. Т.ч. маємо:
,
.
Ця формула вперше отримана італійським вченим Торрічеллі і носить його ім'я.
Трубчастий водомір Вентурі.
Складаємо рівняння Бернуллі для перетинів 1-1 і 2-2, нехтуючи втратами енергії і при довільній площині порівняння о-о:
;
; ; ; ;
.
; ;
; ;
;
;
,
де K - постійна приладу:
.