§ 1.11. Зліченна безліч. Счетності безлічі раціональних чисел. Незчисленних множин дійсних чисел
Вище ми визначили поняття рівності множин. Для характеристики ступеня насиченості нескінченних множин елементами зручним є поняття еквівалентності множин. Безліч називається нескінченним, якщо в множині є елементи, кількість яких більше. Два безлічі і називають еквівалентними, і при цьому пишуть, якщо між їх елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність, т. Е. Існує таке правило, закон, по якому відповідав би цілком певний елемент. При цьому, в силу цього правила, двом різним елементам відповідають два різних елемента і кожен елемент відповідає деякому елементу.
Наприклад, якщо - безліч точок на окружності радіуса, - безліч точок на концентричного кола радіуса, то очевидно, що (рис. 6).
Очевидно, що якщо, то.
Якщо, то множина називається рахунковим. Природно, що саме безліч натуральних чисел є рахунковим (відповідність встановлюється за схемою). Безліч всіх парних натуральних чисел еквівалентно всьому безлічі, причому відповідність встановлюється за схемою. Відзначимо, що тут,. Таким чином, справжнє підмножина (частина) безлічі виявилося еквівалентним для всього. Це властивість властива тільки нескінченним безлічі (його можна прийняти за визначення нескінченної кількості).
З визначення счетності безлічі випливає, що його елементи можна перенумерувати за допомогою натуральних чисел, тому рахункове безліч ми часто будемо записувати у вигляді послідовності його елементів:
Рахункова (теоретико-множинна) сума.
рахункових (або кінцевих) множин є рахункове безліч. Справді, запишемо елементи у вигляді таблиці:
Перенумеруем їх в наступному порядку:
викидаючи, однак, на кожному етапі нумерації ті елементи, які вже були пронумеровані на попередньому етапі: адже може статися, що і мають загальні елементи. В результаті, отримаємо нескінченну послідовність елементів, очевидно, вичерпних безліч. Це доводить, що - рахункове безліч.
Аналогічно доводиться, що кінцева сума рахункових або кінцевих множин, серед яких є хоча б одне рахункове, Рахункова.
Теорема 1. Безліч всіх раціональних чисел лічильно.
Доведення. Розглянемо спочатку позитивні раціональні числа. Назвемо натуральне число висотою раціонального числа. Нехай - множина всіх раціональних чисел з висотою, рівною. Безлічі складаються з кінцевого числа елементів (раціональних чисел), наприклад
Легко бачити, що,
Перенумеруем числа, записані в фігурних дужках зліва направо, випускаючи, втім, на кожному етапі нумерації ті, які були вже пронумеровані на більш ранньому етапі. В результаті отримаємо послідовність
Так як раціональних позитивних чисел нескінченно багато, то ми використовуємо всі натуральні числа. Значить, лічильно. Далі, очевидно, що лічильно. Тому все безліч раціональних чисел також лічильно.
Теорема 2. Безліч всіх дійсних чисел незліченно.
Доведення. Для доказу досить встановити, що безліч дійсних чисел інтервалу утворює незліченну безліч. Припустимо противне, що інтервал є рахункове безліч, т. Е. Все його точки можна перенумерувати:
Але це припущення суперечливо. Справді, побудуємо дійсне число, де цифри підібрані так, щоб і. Ясно, що, однак не збігається ні з одним з чисел, так як інакше мало б бути, що не має місця.