У припущеннях класичної лінійної моделі потрібно:
- знайти множинний коефіцієнт детермінації і пояснити його сенс;
- знайти рівняння Yx = a0 + a1 x1 + a2 x2 множинноїрегресії Yx на x1. x2. і оцінити значимість цього рівняння і його коефіцієнтів на рівні a = 0.05;
- порівняти роздільне вплив на залежну змінну кожної з пояснюють змінних, використовуючи стандартизовані коефіцієнти регресії і коефіцієнти еластичності;
- знайти 95% -ві довірчі інтервали для коефіцієнтів регресії, а також довірчі інтервали для середнього та індивідуального показників значення собівартості 1 т лиття в цехах, в яких вироблення лиття на 1 робітника становить 11 т, а шлюб лиття - 7%.
- Оцінка параметрів множинної лінійної регресії
Розрахунок параметрів лінійної регресії проводиться в матричної формі:
Знайдемо послідовно матрицю і вектор (X T X) -1. Маємо X T Y
Тепер обчислимо зворотну матрицю (X T X) -1:
Залишається перемножити матрицю (X T X) -1 і вектор X T Y:
Рівняння регресії має вигляд:
Отримане рівняння означає, що при збільшенні вироблення одного робочого на 1 т собівартість однієї тонни лиття знизиться в середньому на 0,003 тис. Руб. При збільшенні шлюбу на 1% собівартість 1 тонни лиття знизиться в середньому на 0,955 тис. Руб.
Очевидно, що фактор x2 надає набагато більший вплив на результативну ознаку, ніж фактор x1.
- Розрахунок множинного коефіцієнта детермінації
Множинний коефіцієнт детермінації визначається за формулою:
Допоміжні розрахунки для оцінки коефіцієнта детермінації наведені в таблиці.
Розрахунок множинного коефіцієнта детермінації
Множинний коефіцієнт детермінації дорівнює:
Отримане значення коефіцієнта детермінації означає, що 50% варіації собівартості однієї тонни лиття пояснюється побудованим регресійний рівнянням, а 50% - впливом інших факторів.
- Оцінка значущості рівняння і його коефіцієнтів
Оцінка значущості рівняння в цілому здійснюється за допомогою F-критерієм Фішера:
де: n - число спостережень;
m - число параметрів при змінних x.
F-критерій Фішера дорівнює:
Табличне значення F-критерію для рівня значущості 0,05 і числа ступенів свободи k1 = m = 2 і k2 = n -m -1 = 7 одно 4,737.
Оскільки розрахункове значення F-критерію нижче табличного, приймається нульова гіпотеза про те, що коефіцієнт детермінації дорівнює нулю, тобто побудоване рівняння регресії статистично незначуще.
Знайдемо точкові оцінки для всіх наявних змінних:
Знайдемо стандартизовані регресії і коефіцієнти еластичності для кожної з пояснюють змінних. маємо:
Так як стандартизований коефіцієнт регресії для другого фактора більше, то він має більший вплив на результативну ознаку. Стандартизований коефіцієнт регресії при змінної x1 близький до нуля, що говорить про те, що вплив фактора на собівартість лиття несуттєво.
Розрахуємо коефіцієнти еластичності:
Це означає, що при зміні фактора x1 на 1% результативний ознака зміниться на 0,008% в протилежному напрямку. При зміні фактора x2 на 1% результативний ознака зміниться на 0,834%.
Таким чином, вплив фактора «Відсоток браку» істотніше, ніж змінної «Вироблення лиття на одного робітника».
- Визначення довірчих інтервалів для коефіцієнтів регресії
Точкова оцінка залишкової дисперсії:
Залишковий середньоквадратичне відхилення:
Довірчі інтервали з довірчою ймовірністю 0.95 для коефіцієнтів регресії мають вигляд
елементи, що стоять на діагоналі матриці (X T X) -1. Матриця (X T X) -1 була раніше знайдена в явному вигляді, тому
Табличне значення критерію Стьюдента для числа ступенів свободи 7 і рівня значущості 0,05 одно 2,365. Довірчі інтервали для коефіцієнтів регресії рівні:
Розрахунки показують, що довірчий інтервал для параметра a1 включає в себе 0, тобто з імовірністю 95% коефіцієнт регресії а1 дорівнює нулю. Це означає, що змінна x1 не впливає на результативний фактор.
Розрахуємо прогнозне значення собівартості однієї тонни лиття, якщо вироблення одного робітника становить 11 т, а відсоток браку - 7%:
Формула для довірчого інтервалу для середніх значень змінної має вигляд
Довірчий інтервал для середнього значення результативної ознаки дорівнює:
Y ε (7,834 - 2,365 * 0,880; 7,834 + 2,365 * 0,880) = (5,754; 9,915)
Висновок. з імовірністю 95% середня собівартість тонни лиття при виробленні одного робочого 11 т і відсотку шлюбу 7% знаходиться в інтервалі від 5,754 до 9,915 тис. руб.
Для індивідуальних значень змінної Y відповідний довірчий інтервал має вигляд:
Y ε (7,834 - 2,365 * 1.332; 7,834 + 2,365 * 1.332) = (4.685; 10.984)
Висновок. індивідуальне значення ознаки при виробленні 11 т і рівні шлюбу 7% з імовірністю 95% знаходиться в межах від 4,685 до 10,984 тис. руб.