- Ранг матриці не зміниться, якщо до її рядках (стовпчиках) застосувати елементарні перетворення.
- Ранг ступінчастою матриці дорівнює кількості її ненульових рядків.
Методи обчислення рангу матриці
Метод елементарних перетворень
Використовуючи властивості матриці пов'язані з її рангом, отриманий метод розрахунку рангу найбільш часто використовується на практиці.
Ранг матриці дорівнює кількості ненульових рядків після приведення матриці до ступінчастого вигляду, використовуючи елементарні перетворення над рядками і стовпцями матриці.
Метод облямівки миноров
Ранг матриці дорівнює найбільшому порядку не дорівнює нулю мінору.
Якщо в матриці A знайдений ненульовий мінор k-го порядку M. Розглянемо всі мінори (k + 1) -го порядку, що включають в себе (оздоблюють) мінор M; якщо всі вони рівні нулю, то ранг матриці дорівнює k. Якщо серед оздоблюють мінорів знайдеться ненульовий, то вся процедура повторюється.
Обчислити ранг матриці A, де
Знання рангу матриці підвищить ваш ранг =)
На сьогоднішньому уроці ми познайомимося з поняттям рангу алгебраїчної матриці. навчимося знаходити ранг матриці методом оздоблюють мінорів і методом Гаусса. а також розглянемо важливе практичне застосування теми: дослідження системи лінійних рівнянь на сумісність.
Що таке ранг матриці?
У гумористичному епіграфі статті міститься велика частка істини. Саме слово «ранг» у нас зазвичай асоціюється з деякою ієрархією, найчастіше, зі службовою драбиною. Чим більше у людини знань, досвіду, здібностей, блату і т.д. - тим вище його посаду і спектр можливостей. Висловлюючись по молодіжному, під рангом мають на увазі загальну ступінь «крутості».
І брати наші математичні живуть за тими ж принципами. Виведемо на прогулянку кілька довільних нульових матриць:
Замислимося, якщо в матриці одні нулі. то про яке ранзі може йти мова? Всім знайоме неформальне вираз «повний нуль». У суспільстві матриць все точно так же:
Ранг нульової матріцилюбих розмірів дорівнює нулю.
Примітка: нульова матриця позначається грецькою буквою «тета»
З метою кращого розуміння рангу матриці тут і далі я буду залучати на допомогу матеріали аналітичної геометрії. Розглянемо нульовий вектор нашого тривимірного простору, яка не задає певного напряму і даремний для побудови афінного базису. З алгебраїчної точки зору координати даного вектора записані в матрицю «один на три» і логічно (в зазначеному геометричному сенсі) вважати, що ранг цієї матриці дорівнює нулю.
Тепер розглянемо кілька ненулевихвекторов-стовпців і векторів-рядків:
У кожному примірнику є хоча б один ненульовий елемент, і це вже дещо!
Ранг будь-якого ненульового вектора-рядка (вектора-стовпця) дорівнює одиниці
І взагалі - якщо в матріцепроізвольних розмірів є хоча б один ненульовий елемент, то її рангне менше одиниці.
Алгебраїчні вектори-рядки і вектори-стовпці до певної міри абстрактні, тому знову звернемося до геометричної асоціації. Ненульовий вектор задає цілком певний напрям в просторі і годиться для построеніябазіса. тому ранг матриці будемо вважати рівним одиниці.
Теоретична довідка: в лінійної алгебри вектор - це елемент векторного простору (яке визначається через 8 аксіом), який, зокрема, може являти собою впорядковану рядок (або стовпчик) дійсних чіселс певними для них операціями сложеніяі множення на дійсне число. З більш детальною інформацією про вектори можна ознайомитися в статьеЛінейние перетворення.
Розглянемо матрицю. рядки якої лінійно залежні (виражаються один через одного). З геометричної точки зору у другому рядку записані координати колінеарну вектора. який нітрохи не просунув справу в построеніітрёхмерного базису. будучи в цьому сенсі зайвим. Таким чином, ранг даної матриці теж дорівнює одиниці.
Перепишемо координати векторів в стовпці (транспоніруем матрицю):
Що змінилося з точки зору рангу? Нічого. Стовпці пропорційні, значить, ранг дорівнює одиниці. До речі, зверніть увагу, що всі три рядки теж пропорційні. Їх можна ототожнити з координатами трьох колінеарних векторів площини, з которихтолько один корисний для побудови «плоского» базису. І це повністю узгоджується з нашим геометричним змістом рангу.
З вищенаведеного прикладу випливає важливе твердження:
Ранг матриці по рядках дорівнює рангу матриці по стовпцях. Про це я вже трохи згадував на уроці про ефективні методи обчислення визначника.
Примітка: з лінійної залежності рядків слід лінійна залежність стовпців (і навпаки). Але в цілях економії часу, та й в силу звички я майже завжди буду говорити про лінійну залежність рядків.
Продовжимо дресирувати нашого улюбленого вихованця. Додамо в матрицю третім рядком координати ще одного колінеарну вектора:
Чи допоміг він нам в побудові тривимірного базису? Звичайно, ні. Всі три вектора гуляють туди-сюди по одній доріжці, і ранг матриці дорівнює одиниці. Можна взяти скільки завгодно колінеарних векторів, скажімо, 100, укласти їх координати в матрицю «сто на три» і ранг такого хмарочоса все одно залишиться одиничним.
Познайомимося з матрицею. рядки якої лінійно незалежні. Пара неколінеарних векторів придатна для побудови тривимірного базису. Ранг цієї матриці дорівнює двом.
А чому дорівнює ранг матриці. Рядки начебто не пропорційні ..., значить, по ідеї трьом. Однак ранг цієї матриці теж дорівнює двом. Я склав перші два рядки і записав результат внизу, тобто лінійно висловив третій рядок через перші дві. Геометрично рядки матриці відповідають координатам трьох компланарних векторів. причому серед цієї трійки існує пара неколінеарних товаришів.
Як бачите, лінійна залежність в розглянутої матриці не очевидна, і сьогодні ми якраз навчимося виводити її «на чисту воду».
Думаю, багато здогадуються, що таке ранг матриці!
Розглянемо матрицю. рядки якої лінійно незалежні. Вектори утворюють афінний базис. і ранг даної матриці дорівнює трьом.
Як ви знаєте, будь-який четвертий, п'ятий, десятий вектор тривимірного простору буде лінійно виражатися через базисні вектори. Тому, якщо в матрицю додати будь-яку кількість рядків, то її ранг все одно буде дорівнює трьом.
Аналогічні міркування можна провести для матриць більших розмірів (зрозуміло, вже без геометричного сенсу).
Визначення. ранг матриці - це максимальна кількість лінійно незалежних рядків. Або: ранг матриці - це максимальна кількість лінійно незалежних стовпців. Так, їх кількість завжди збігається.
З вищесказаного також випливає важливий практичний орієнтир: ранг матриці не перевищує її мінімальний розмірності. Наприклад, в матриці чотири рядки і п'ять стовпців. Мінімальна розмірність - чотири, отже, ранг даної матриці свідомо не перевершить 4.
Позначення. в світовій теорії і практиці не існує загальноприйнятого стандарту для позначення рангу матриці, найбільш часто можна зустріти: - як то кажуть, англієць пише одне, німець інше. Тому давайте за мотивами відомого анекдоту про американський і російський пекло позначати ранг матриці рідним словом. Наприклад:. А якщо матриця «безіменна», яких зустрічається дуже багато, то можна просто записати.