В вирази зі змінною можуть входити літери, числа, знаки операції, дужки. Так, 4х + 3, х + 2у - 2, (у + 4). х - вираження зі змінними.
Областю визначення виразу зі змінною називається безліч значень змінної, при яких це значення має сенс. Якщо дано вираз з двома змінними х і у. то областю його визначення є безліч пар чисел (х, у), при яких цей вислів має сенс.
Два математичних вираження називаються тотожністю. якщо воно перетворюється в правильну числову рівність при будь-яких значеннях змінних, що належать спільній області визначення (тобто при значеннях змінних, при яких вирази мають сенс).
Нерівності з однією змінною. Основні поняття. Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильні нерівності, слідства з них.
Пропозиції 2х + 7> 10-х, х² + 7х<2 называют неравенством с одной переменной.
Нехай f (x) і g (х) - два вирази зі змінною х і областю визначення Х. Тоді нерівність виду f (х)> g (х) або f (х) Значення змінної х з безлічі Х, при якому нерівність звертається в справжнє числове нерівність, називають його рішенням. Вирішити нерівність - це значить знайти безліч його рішень. В основі рішення нерівностей з однією змінною лежить поняття равносильности. Два нерівності називають рівносильними. якщо їх безлічі рішень рівні. Нерівності 2х + 7> 10 і 2х> 3 рівносильні, так як безлічі їх рішень рівні і представляють проміжок (2/3; ∞). Теорема 3. Нехай нерівність f (х)> g (х) задано на множині Х, h (х) - вираз, визначене на тому ж безлічі. Тоді нерівності f (х)> g (х) і f (х) + h (х)> g (х) + h (х) рівносильні на множині Х. 1. Якщо до обох частин нерівності f (х)> g (х) додати одне і те ж число d, то отримаємо нерівність f (х) + d> g (х) + d, рівносильне вихідному. 2. якщо якесь доданок перенести з однієї частини в іншу, помінявши знак доданка на протилежний, то отримаємо нерівність рівносильне даному. Теорема 4. Нехай нерівність f (х)> g (х) задано на множині Х і h (х) - вираз, визначене на тому ж безлічі і для всіх х з безлічі Х вираз h (х) набуває від'ємних значень. Тоді нерівності f (х)> g (х) і f (х) · h (х) Слідство: якщо обидві частини нерівності f (х)> g (х) помножити на одне й те саме від'ємне число d і знак нерівності поміняти на протилежний, то отримаємо нерівність f (х) · d Рівняння з двома змінними. Основні поняття (область визначення, рішення, безліч рішень, співвідношення між ними). Рівність f (х; у) = 0 являє рівняння з двома змінними. Рішенням такого рівняння є пара значень змінних. яка звертає рівняння з двома змінними в правильне рівність. Якщо перед нами рівняння з двома змінними, то в його записи на перше місце ми повинні поставити х, на друге - у. Розглянемо рівняння х - 3у = 10. Пари (10; 0), (16, 2), (-2; -4) є рішеннями даного рівняння, в той час як пара (1; 5) рішенням не є. Щоб знайти інші пари рішень даного рівняння, необхідно одну змінну висловити за допомогою іншого - наприклад, х через у. В результаті ми отримаємо рівняння Якщо рівняння з двома змінними мають однакові коріння, то такі рівняння називаються рівносильними. Для рівнянь з двома змінними справедливі теореми про рівносильні перетворення рівнянь. Розглянемо графік рівняння з двома змінними. Нехай дано рівняння з двома змінними f (х; у) = 0. Всі його рішення можна зобразити точками на координатній площині. Це безліч точок площині і називається графіком рівняння f (х; у) = 0. Так, графіком рівняння у - х 2 = 0 є парабола у = х 2; графіком рівняння у - х = 0 є пряма; графіком рівняння у - 3 = 0 є пряма, паралельна осі х, і ін. Рівняння виду ax + by = c, де x і y - змінні, а a, b і c - числа, називається лінійним; числа a, b називаються коефіцієнтами при змінних, з - вільним членом. Графіком лінійного рівняння ax + by = c є: 1. пряма; якщо хоча б один з коефіцієнтів при змінних відмінний від нуля; 2. пряма, паралельна осі х, якщо а = 0; 3. пряма, паралельна осі у, якщо b = 0. Якщо лінійне рівняння ax + by = c має вигляд 0 # 8729; х + 0 # 8729; y = c, то ми повинні розглянути два випадки: 1. с = 0. У такому випадку рівняння задовольняє будь-яка пара (х; у), а тому графіком рівняння є вся координатна площину; 2. з ≠ 0. У такому випадку рівняння не має рішення, значить, його графік не містить жодної точки. 25. графічне рішення нерівностей і систем нерівностей з двома змінними. Предикат виду f # 8321; (х, у)> Загальне рівняння прямой- рівняння першого ступеня щодо пе-ремінних х і у, тобто рівняння виду Ах + Ву + С = 0 за умови, що коеффіці-енти А і В одночасно не рівні нулю. Рівняння прямої у відрізках має вигляд х / а + у / b = 1, гдеа іb- відповідно абсциса і ордината точок перетину прямої з осяміОх іОу. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вигляд у = кх + b, гдеК = tg # 940; - кутовий коефіцієнт, що дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осіОх, а b ордината точки перетину прямої з осьюОу Кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки і В, знаходиться за формулою 27.Взаімное розташування прямих на площині На площині задані прямі загальними рівняннями: Якщо виконані умови. то прямі збігаються. Якщо виконані умови. то прямі паралельні. Вектори - нормальні вектори прямих і відповідно. Якщо скалярний добуток векторів і наближається до нуля, т. Е. Те прямі і перпендикулярні. Умова перпендикулярності прямих і в координатної формі: Час і його вимірювання Час - одна з основних величин. Вивчення заходів часу, і орієнтування в часі представляють для дітей значні труднощі. Час тече безперервно, його не можна ні зупинити, ні повернути, тому сприйняття проміжків часу, порівняння подій за тривалістю викликає певні труднощі. Проміжки часу можна порівнювати. Проміжки часу можна додавати, віднімати, множити на позитивне дійсне число. Проміжки часу вимірюють .. Одиницею часу повинен бути регулярно повторюваний процес. Такою одиницею в Міжнародній системі одиниць названа секунда. Століття - це така одиниця виміру часу, тривалість якої відчути практично неможливо. Треба вчити дітей визначати, скільки цілих століть пройшло за певний проміжок. Рік - це проміжок часу, близький за тривалістю до періоду обертання Землі навколо Сонця. Рік ділиться на 12 календарних місяців різної тривалості (28, 29, 30, 31 день). У році приблизно 365 днів. Розрізняю: календарний (юліанський, григоріанський), місячний, зоряний, тропічний, драконічний, аномалістіческій. Місяць - це проміжок часу, близький до періоду обертання Місяця навколо Землі. Місяць ділиться на 4 тижні, в кожній з яких 7 днів. Розрізняють: календарний, зоряний, синодичний, драконічний. Добу бувають ефемеридні (24 ч = 1440 хв = 86400 с), сонячні, середня сонячна, зіркові. Тиждень - це одиниця виміру часу рівна 7 діб. У тижні прімерно168 годин. Хвилина (від лат. Minutus - «маленький», «дрібний») - це одиниця виміру часу, яка дорівнює 1/60 частини години, тобто 60 секундам. Секунда (від лат. Secunda divisio - «другий розподіл») - це одиниця виміру часу, що дорівнює 1/60 хвилини. 1 г = 12 міс = 52 тижні 1 міс = 4 тижні 1 тиждень = 7 діб 1 добу = 24 години = 1440 хвилин = 86400 секунд 1 година = 1/24 діб = 60 хвилин = 3600 секунд 1 хвилина = 1/1440 діб = 1/60 години = 60 секунд 1 секунда = 1000 мілісекунд Календар - система числення тривалих проміжків часу, заснована на періодичності таких явищ природи, як зміна дня і ночі, змін фаз Місяця, зміна пори року. Місячний календар; Сонячно - місячний календар; Юліанський календар ( «старий стиль»); Григоріанський календар ( «новий стиль») і ін. 35. Залежність між величинами. Залежності між величинами різноманітні. Розглянемо величини, пов'язані з рівномірним прямолінійним рухом - час, швидкість і відстань. Залежність між часом (t), швидкістю (v) і відстанню (S), пройденим тілом при прямолінійній рівномірному русі, може бути виражена формулою S = v · t. Якщо рух таке, що швидкість приймає одне і те ж значення, то залежність пройденої відстані від часу прямо пропорційна, так як виражається формулою виду .У = KХ (S = v · t) / Пере-менная х є час руху, а змінна у - пройдене раcстояніе / Коефіцієнт k позначає швидкість руху. Прямо пропорційна залежність між часом і пройденим рассто-яніем має властивість: у скільки разів збільшується (уменьша-ється) час руху, у стільки ж разів збільшується (умень-шается) пройдену відстань. Залежність відстані прямолінійного рівномірного руху від часу (при постійній швидкості) може бути і лінійної, т. Е. Вона може виражатися формулою виду у = KХ + b, де k і b - деякі дані числа Якщо серед величин S, v, tдве величини - швидкість і час - приймають різні значення, а відстань постійно, то залежність між швидкістю і часом руху обернено пропорційна, так як може бути виражена формулою у = k: х, де змінна х є швидкість руху , змінна у - час руху (або навпаки), достояннаяkесть відстань, яке на-до пройти тілу. Обернено пропорційна залежність між швидкістю і часом руху має властивість: у скільки разів збільшується (зменшується) швидкість руху, в стільки ж разів зменшується (збільшується) час, витрачений на рух. 36. Залежність між величинами, хар-ми процеси купівлі-продажу 37. Прямолінійний рівномірний рух - це такий рух, при якому за однакові проміжки часу, тіло проходить однакову відстань. Рівномірний рух - це такий рух тіла, при якому його швидкість залишається постійною (), тобто весь час рухається з однією швидкістю, а прискорення або уповільнення не відбувається (). Прямолінійний рух - це рух тіла по прямій лінії, тобто траєкторія у нас виходить - пряма. Швидкість рівномірного прямолінійного руху не залежить від часу і в кожній точці траєкторії спрямована також, як і переміщення тіла. Тобто вектор швидкості збігається з вектором переміщення. При цьому середня швидкість в будь-який проміжок часу дорівнює початковій і миттєвої швидкості: Швидкість рівномірного прямолінійного руху - це фізична векторна величина, що дорівнює відношенню переміщення тіла за будь-який проміжок часу до значення цього проміжку t: З цієї формули. ми легко можемо висловити переміщення тіла при рівномірному русі: 38. Кут - це геометрична фігура, яка складається з точки і двох променів, що виходять з цієї точки. Промені називаються сторонами кута. а їх загальне початок - вершиною кута. Кут називається розгорнутим. якщо обидві його сторони лежать на одній прямій. Можна сказати, що кожна сторона розгорнутого кута є продовженням іншого боку. Кут називається прямим. якщо він дорівнює 90 °, гострим. якщо він менше прямого кута, тобто менше 90 °, тупим. якщо він більше 90 °, але менше 180 °, тобто більше прямого, але менше розгорнутого кута. Два кута, у яких одна сторона спільна, а дві інші є продовженнями одна інший, називаються суміжними. Сума суміжних кутів дорівнює 180 °. Два кута називаються вертикальними. якщо сторони одного кута є продовженнями сторін іншого. 39. Трикутником називається геометрична фігура, яка складається з трьох тчек, які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що з'єднують ці три точки. Елементи: боку, кути, висоти, бісектриси, медіани, середні лінії. Висотою труегол. опущеною з даної вершини, називається перпендикуляр, проведений з цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону. Медіана трикутника - це відрізок, що з'єднує верщіну трикутника з серединою протилежної сторони цього трикутника. 1.Медіана розбиває трикутник на два трикутника однакової площі. 2.Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них по відношенню до 2: 1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром ваги трикутника. 3.Весь трикутник розділяється своїми медианами на шість рівновеликих трикутників. Бісектриса кута - це промінь, який виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить даний кут навпіл. Биссектрисой трикутника називається відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує вершину з точкою на протилежній стороні цього трикутника. 1.Біссектріса кута - це геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін цього кута. 2.Біссектріса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прілегажащім сторонам:. 3.Точка перетину биссектрис трикутника є центром кола, вписаного в цей трикутник. Висотою трикутника називається перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону цього трикутника.Схожі статті