(8) - апостериорная оцінка. Тоді Iуточн. = + Ro (9), уточнене значення інтеграла.
Якщо порядок методу невідомий, необхідно обчислити I в третій раз з кроком, тобто:
з системи трьох рівнянь:
з невідомими I, А і p отримуємо.
З (10) слід (11)
Таким чином, метод подвійного прорахунку, використаний необхідне число раз, дозволяє обчислити інтеграл із заданим ступенем точності. Вибір необхідного числа розбиття здійснюється автоматично. Можна при цьому використовувати багаторазове звернення до підпрограм відповідних методів інтегрування, не змінюючи алгоритмів цих методів. Однак для методів, які використовують равноотносящіе вузли, вдається модифікувати алгоритми і зменшити вдвічі кількість обчислень підінтегральної функції за рахунок використання інтегральних сум, накопичених при попередніх кратних розбитті інтервалу інтегрування. Два наближених значення інтеграла і, які обчислюють за методом трапеції з кроками і, пов'язані співвідношенням:
Аналогічно, для інтегралів, обчислених за формулою з кроками і, справедливі співвідношення:
4. Вибір кроку інтегрування
Для вибору кроку інтегрування можна скористатися виразом залишкового члена. Візьмемо, наприклад, залишковий член формули Сімпсона:
якщо ê ê , то ê ê .
За заданою точністю e методу інтегрування з останнього нерівності визначаємо відповідний крок.
Однак такий спосіб вимагає оцінки (що на практиці не завжди можливо). Тому користуються іншими прийомами визначення оцінки точності, які по ходу обчислень дозволяють вибрати потрібний крок h.
Розберемо один з таких прийомів. нехай
де - наближене значення інтеграла з кроком. Зменшимо крок в два рази, розбивши відрізок на дві рівні частини і ().
Припустимо тепер, що змінюється не дуже швидко, так що майже постійна:. Тоді і, звідки, тобто.
Звідси можна зробити такий висновок: якщо, тобто якщо,, а - необхідна точність, то крок підходить для обчислення інтеграла з достатньою точністю. Якщо ж, то розрахунок повторюють з кроком і потім порівнюють і і т.д. Це правило називається правилом Рунге.
Однак при застосуванні правила Рунге необхідно враховувати величину похибки обчислень: зі зменшенням абсолютна похибка обчислень інтеграла збільшується (залежність від обернено пропорційна) і при досить малих може виявитися більше похибки методу. Якщо перевищує, то для даного кроку застосовувати правило Рунге не можна і бажана точність не може бути досягнута. У таких випадках необхідно збільшувати значення.