Під кутом між векторами розуміється кут між векторами рівними даними і мають спільний початок. Якщо напрямок відліку кута не вказано, то кутом між векторами вважається той з кутів, який не перевищує π. Якщо один з векторів нульовий то кут вважається рівним нулю. Якщо кут між векторами прямої то вектори називаються ортогональними.
Визначення: ортогональних проекціейвекторана напрямок вектора називається скалярна величина. # 966; - кут між векторами.
Модуль цієї скалярної величини дорівнює довжині відрізка OA0.
якщо кут # 966; гострий проекція є позитивною величиною, якщо кут # 966; тупий - проекція від'ємна, якщо кут # 966; прямий - проекція дорівнює нулю.
При ортогональної проекції кут між відрізками OA0 і AA0 прямий. Існують проекції, у яких цей кут відрізняється від прямого.
Проекції векторів мають наступні властивості:
1. (проекція суми дорівнює сумі проекцій);
2. (проекція твори вектора на число дорівнює добутку проекції вектора на число).
Базис називається ортогональним. якщо його вектори попарно ортогональні.
Ортогональний базис називається ортонормованим. якщо його вектори по довжині дорівнюють одиниці. Для ортонормированного базису в просторі часто використовують позначення.
Теорема: У ортонормированном базисі координати векторів є відповідні ортогональні проекції цього вектора на напрямки координатних векторів.
Приклад: Нехай вектор одиничної довжини утворює з вектором ортонормированного базису на площині кут # 966 ;, тоді.
Приклад: Нехай вектор одиничної довжини утворює з векторами. і ортонормированного базису в просторі кути # 945 ;, # 946 ;, # 947 ;, відповідно (рис. 5), тоді. Причому. Величини cos # 945 ;, cos # 946 ;, cos # 947; називаються напрямними косинусами вектора
Скалярний добуток
Визначення: Скалярним твором двох векторів називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Якщо один з векторів нульовий скалярний твір вважається рівним нулю.
Скалярний добуток векторів і позначається через [або; або]. якщо # 966; - кут між векторами і. то.
Скалярний твір має такі властивості:
2. (скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини).
3. Скалярний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли співмножники ортогональні або хоча б один з них нульовий.
Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правоорієнтованого (правої), якщо після застосування до загального початку з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого видно проти годинникової стрілки. В іншому випадку впорядкована трійка некомпланарних векторів називається лівоорієнтованої (лівої).
Визначення: Векторним твором вектора на вектор називається вектор. задовольняє умовам:
1. де # 966; - кут між векторами і;
2. вектор ортогональний вектору. вектор ортогональний вектору;
3. впорядкована трійка векторів є правою.
Якщо один з векторів нульовий, то векторне твір є нульовий вектор.
Векторний добуток вектора на вектор позначається.
Теорема: Необхідною і достатньою умовою коллинеарности двох векторів є рівність нулю їх векторного твори.
Теорема: Довжина (модуль) векторного добутку двох векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах як на сторонах.
Приклад: Якщо - правий ортонормованій базис, то. . .
Приклад: Якщо - лівий ортонормованій базис, то. . .
Приклад: Нехай, а ортогонален к. Тоді виходить з вектора поворотом навколо вектора на за годинниковою стрілкою (якщо дивитися з кінця вектора).
Приклад: Якщо дано вектор. то кожен вектор можна представити у вигляді суми. де - ортогонален. а - коллінеарен. Легко бачити, що.
Дійсно, можна помітити, що. Вектор компланарен векторах і. а тому і колінеарні. Легко бачити (рис. 12), що вони однаково спрямовані.
Векторний добуток має такі властивості:
Дійсно, з визначення випливає, що модуль векторного твори не залежить від порядку співмножників. Точно так же вектор коллінеарен вектору. Однак, переставляючи співмножники, ми повинні змінити напрямок твори, щоб була виконана умова 3) визначення. Дійсно, якщо. . - права трійка, то. . - ліва, а. . - знову права трійка.
якщо # 966; - кут між векторами і. то. Вектори, які стоять в обох частинах доказуваного рівності, лежать на прямій, перпендикулярній і. при # 955;> 0 і вектор і вектор спрямовані так само, як. якщо # 955; <0, то кратчайший поворот от к производится навстречу кратчайшему повороту от к . Поэтому и противоположно направлены. Очевидно, что противоположно направлены также и векторы и . Таким образом, при λ ≠ 0 векторы и направлены всегда одинаково, и равенство доказано. При λ = 0 равенство очевидно.
Якщо. то доводимо очевидно. Якщо. то розкладемо і в суми і. де і ортогональні. а й колінеарні. Оскільки. і вектор ортогонален. а коллінеарен. нам достатньо довести рівність і (в силу властивості 2) навіть рівність. де. Довжина вектора дорівнює 1. Вище, в прикладі, ми бачили, що в цьому випадку множення на зводиться до повороту (ортогонального к) першого співмножники на кут 90 °. Але при повороті паралелограм, побудований на і. повертається цілком разом з діагоналлю. Тим самим рівність доведено.
Нехай в деякому базисі задані вектори і тоді
Справедливість теореми випливає з попередніх формул при обліку прикладів на початку розділу. Щоб уникнути постійних зауважень про орієнтацію базису, ми будемо вважати, що базис вибирається завжди правий.
Векторний добуток використовується в основному для вирішення двох завдань:
1. Знаходження вектора перпендикулярного площині, в якій розташовані два заданих вектора.
2. Обчислення площі S паралелограма, побудованого на векторах і. як на сторонах. У ортонормированном базисі
У планіметрії векторне твір не визначено. Але ніщо не заважає вважати, що вивчається площину поміщена в простір і третій базисний вектор обраний єдиним і перпендикулярним площині. Тоді векторне твір має одну ненульову компоненту, а саме третю, і площа паралелограма в ортонормированном базисі на площині виражається формулою
Комплексним числом називається вираз виду z = a + bi. де a і b - дійсні числа, - уявна одиниця. Число а називається дійсною частиною комплексного числа z і позначається a = Rez. число b - уявною частиною z: b = Imz.
Комплексні числа z = a + bi і z = a - bi називаються сполученими.