Тривалість удару.
Оцінити час пружного удару твердих тіл, розглядаючи зіткнення стрижня, налітає торцем на нерухому недеформіруемое стінку (рис.).
Найчастіше в задачах вважають, що пружний удар твердих тіл відбувається миттєво, але абсолютно очевидно, що це припущення є ідеалізацією.
Зіткнення реальних тел завжди займає кінцевий проміжок часу τ. Справді, якби зміна імпульсу тіла при зіткненні відбувалося миттєво,
F = mδv / t → 0 → ∞
то сила взаємодії тіл при ударі була б нескінченно великою, чого, природно, не буває.
Від чого ж може залежати тривалість зіткнення? Припустимо, що ми розглядаємо відображення пружного тіла від недеформируемой стінки. При зіткненні кінетична енергія тіла протягом першої половини зіткнення перетворюється в потенційну енергію пружної деформації тіла. Протягом другої половини відбувається зворотне перетворення енергії деформації в кінетичну енергію відскакує тіла.
Тому очевидно, що пружні властивості тіла відіграють певну роль при зіткненні. Отже, можна очікувати, що тривалість удару залежить від модуля Юнга матеріалу тіла Е. його щільності ρ і його геометричних розмірів. Можливо, що тривалість удару τ залежить і від швидкості v. з якої тіло налітає на перешкоду.
Неважко переконатися, що оцінити час зіткнення за допомогою одних тільки міркувань розмірності не вдасться. Дійсно, якщо навіть взяти в якості налітаючого тіла куля, розміри якого характеризуються тільки одним параметром - радіусом R. то з величин Е. ρ. R і v можна скласти безліч виразів, що мають розмірність часу:
τ = √ × f (ρv 2 / E). (1)
де f - довільна функція безрозмірною величини ρv 2 / Е. Тому для знаходження τ необхідно динамічне розгляд.
Найпростіше такий розгляд провести для тіла, що має форму довгого стрижня.
Нехай стрижень, що рухається зі швидкістю v. налітає торцем на нерухому стінку. При зіткненні торцевого перетину стрижня зі стінкою швидкості лежать в цьому перерізі частинок стержня миттєво звертаються в нуль. В наступний момент часу зупиняються частки, розташовані в сусідньому перетині, і т. Д. Ділянка стрижня, частинки якого до цього моменту вже зупинилися, знаходиться в деформованому стані. Іншими словами, в цей момент часу деформованої виявляється та частина стрижня, до якої дійшла хвиля пружної деформації, що поширюється по стрижні від місця контакту з перешкодою. Ця хвиля деформації поширюється по стрижні зі швидкістю звуку u. Якщо вважати, що стрижень прийшов в зіткнення зі стінкою в момент часу t = 0. то в момент часу t довжина стислій частині стержня дорівнює ut. Ця частина стрижня на рис. а заштрихована.
У незаштриховані частини стрижня швидкості всіх його частинок як і раніше рівні v. а в стислій (заштрихованої) частини стержня всі частинки покояться.
Перший етап процесу зіткнення стрижня зі стінкою закінчиться в той момент, коли весь стрижень виявиться деформованим, а швидкості всіх його частинок звернуться в нуль (рис. Б).
У цей момент кінетична енергія налітаючого стрижня цілком перетворюється в потенційну енергію пружної деформації. Відразу після цього починається другий етап зіткнення, при якому стрижень повертається в недеформоване стан. Цей процес починається у вільного кінця стержня і, поширюючись по стрижні зі швидкістю звуку, поступово наближається до перешкоди. На рис. в
стрижень показаний в той момент, коли незаштриховані частина вже не деформована і все її частки мають швидкість v. спрямовану вліво. Заштрихована ділянка як і раніше деформований, і швидкості всіх його частинок дорівнюють нулю.
Кінець другого етапу зіткнення настане в той момент, коли весь стрижень виявиться недеформований а всі частинки стержня придбають швидкість v. спрямовану протилежно швидкості стержня до удару. У цей момент правий кінець стержня відділяється від перепони: недеформівний стрижень відскакує від стінки і рухається в протилежний бік з колишньої по модулю швидкістю (рис. Г).
Енергія пружної деформації стрижня при цьому цілком переходить назад в кінетичну енергію.
З викладеного ясно, що тривалість зіткнення τ дорівнює часу проходження фронту хвилі пружної деформації по стрижні туди і назад:
τ = 2l / u. (2)
де l - довжина стрижня.
Визначити швидкість звуку в стержні u можна наступним чином. Розглянемо стрижень в момент часу t (рис. А), коли хвиля деформації поширюється вліво. Довжина деформованої частини стрижня в цей момент дорівнює ut. По відношенню до недеформованому станом ця частина укоротилася на величину vt. рівну відстані, пройденого до цього моменту ще недеформованою частиною стержня. Тому відносна деформація цієї частини стержня дорівнює v / u. На підставі закону Гука
v / u = (1 / E) × F / S. (3)
де S - площа поперечного перерізу стержня, F - сила, що діє на стрижень з боку стінки, Е - модуль Юнга.
Оскільки відносна деформація v / u однакова в усі моменти часу, поки стрижень знаходиться в контакті з перешкодою, то, як видно з формули (3), сила F постійна. Для знаходження цієї сили застосуємо закон збереження імпульсу до зупинилася частини стержня. До контакту з перешкодою розглянута частина стрижня мала імпульс ρSut • v. а в момент часу t її імпульс дорівнює нулю.
Тому
ρSut • v = Ft. (4)
Підставляючи звідси силу F в формулу (3), отримуємо
u = √. (5)
Тепер вираз для часу τ. Деформація зіткнення стрижня зі стінкою (2) набуває вигляду
τ = 2l√. (6)
Час зіткнення τ можна знайти і інакше, скориставшись для цього законом збереження енергії. Перед зіткненням стрижень недеформованому і вся його енергія - це кінетична енергія поступального руху mv 2/2. Через деякий час τ / 2 з початку зіткнення швидкості всіх його частинок, як ми бачили, звертаються в нуль, а весь стрижень позначається деформованим (рис. Б). Довжина стрижня зменшилася на величину δl в порівнянні з його недеформованому станом (рис. Д).
У цей момент вся енергія стержня - це енергія його пружної деформації. Цю енергію можна записати у вигляді
W = k (δl) 2/2.
де k - коефіцієнт пропорційності між силою і деформацією:
F = kδl.
Цей коефіцієнт за допомогою закону Гука виражається через модуль Юнга E і розміри стержня:
σ = F / S = (δl / l) E.
F = SEδl / l і F = kδl.
звідси
k = ES / l. (7)
Максимальна деформація δl дорівнює тому відстані, на яке переміщаються частинки лівого кінця стрижня за час τ / 2 (рис. Д). Так як ці частки рухалися зі швидкістю v. то
δl = vτ / 2. (8)
Прирівнюємо кінетичну енергію стрижня до удару і потенційну енергію деформації. З огляду на, що маса стержня
m = ρSl.
і використовуючи співвідношення (7) і (8), одержуємо
ρSlv 2/2 = ES / (2l) × (vτ / 2) 2.
звідки для τ знову отримуємо формулу (6).
Це час зіткнення зазвичай дуже мало. Наприклад, для сталевого стрижня (E = 2 × 10 11 Па, ρ = 7,8 × 10 3 кг / м 3) довжиною 28 см обчислення за формулою (6) дає τ = 10 -4 с.
Силу F. діючу на стінку під час удару, можна знайти, підставляючи швидкість звуку в стержні (5) в формулу (4):
F = Sv√. (9)
Видно, що сила, яка діє на стінку, пропорційна швидкості стержня перед ударом. Але для застосування наведеного рішення необхідно, щоб механічне напруження стрижня F / S не перевищувало межі пружності матеріалу, з якого виготовлений стрижень. Наприклад, для стали межа пружності
(F / S) max = 4 × 10 8 Па.
Тому максимальна швидкість v сталевого стрижня, при якій його зіткнення з перешкодою все ще можна вважати пружним, виявляється згідно з формулою (9) дорівнює 10 м / с. Це відповідає швидкості вільного падіння тіла з висоти всього лише 5 м.
Зазначимо для порівняння, що швидкість звуку в стали u = 5000 м / с. т. е. v < Час зіткнення стрижня з нерухомою перешкодою (на відміну від сили) виявилося не залежних від швидкості стержня. Цей результат, однак, не є універсальним, а пов'язаний зі специфічною формою розглянутого тіла. Наприклад, для пружного кулі час зіткнення зі стінкою залежить від його швидкості. Динамічне розгляд цього випадку виявляється більш складним. Пов'язано це з тим, що і площу зіткнення деформованого кулі зі стінкою, і діюча на кулю сила в процесі зіткнення не залишаються постійними.