Часто при обчисленні меж будь-якої функції, безпосереднє застосування теорем про межі призводить до бажаної мети. Так, наприклад, не можна застосовувати теорему про межу дробу, якщо її знаменник прагне до нуля. Тому часто перш, ніж застосовувати ці теореми, необхідно тотожне перетворити функцію, межа якої ми шукаємо. Розглянемо деякі прийоми розкриття невизначеностей.
I. Невизначеність виду.
Приклад. обчислити межа
При підстановці замість змінної х числа - 2 бачимо, що виходить невизначеність виду. Для її розкриття розкладемо чисельник і знаменник на множники і скоротимо на загальний множник х + 2. В результаті отримаємо новий межа, знаменник якого при підстановці замість змінної х числа -2 дорівнює нулю. Ця межа легко обчислюється по теорем. Таким чином, невизначеність буде розкрита.
Приклад. обчислити межа
При підстановці х = 0 виходить невизначеність виду.
Помножимо чисельник і знаменник дробу на поєднане чисельнику вираз:
II. Невизначеність виду.
Для розкриття цієї невизначеності потрібно кожний доданок чисельника і знаменника розділити на змінну в найбільшою мірою і з огляду на, що величина зворотна нескінченно великою величиною є нескінченно мала величина, розкриємо вихідну невизначеність.
Приклад. обчислити межа
Тут чисельник і знаменник не мають меж, тому що обидва необмежено зростають. У цьому випадку маємо невизначеність виду. Для її розкриття розділимо кожний доданок на змінну в найбільшою мірою, тобто на х 4. Отримаємо:
Величини є нескінченно малими при і їх межі дорівнюють нулю. Отже, шуканий межа дорівнює.
Приклад. обчислити межа
Маємо невизначеність виду. Розділимо чисельник і знаменник на х 2. Отримаємо:
Перший чудовий межа:
Другий чудовий межа:
Третій чудовий межа:
Четвертий чудовий межа: при. .
Часто коли безпосередня знаходження межі будь - якої функції представляється складним, то можна шляхом перетворення функції звести задачу до знаходження чудових меж.
Приклад. обчислити межа
Порівняння нескінченно малих функцій
Нехай a (х) і b (х) нескінченно малі функції при х ® А. Ці нескінченно малі функції можна порівнювати за швидкістю їх зменшення, тобто за швидкістю їх прагнення до нулю.
Наприклад, функція f (x) = x 10 прагне до нуля швидше, ніж функція f (x) = x.
Нескінченно малі функції a (х) і b (х) при х ® А називаютсяеквівалентнимі нескінченно малими, якщо. Записують a (х)
При х ®0 еквівалентними нескінченно малими є такі функції: