простір функцій f = f (x) = f (x1. xn), визначених на безлічі (зазвичай відкритому) і інтегрованих з р- йстепенью їх модуля разом зі своїми узагальненими похідними до порядку lвключітельно
Норма функції визначається за допомогою рівності
є узагальнена похідна від f порядку | k | = І норма
При ця норма дорівнює істотного максимуму:
т. 0 не залежить від f). При р = 2 норма (1 ') гильбертова, і це широко використовується в додатках.
Кордон Г обмеженою області зв. ліпшіцевой, якщо, як і вона була точка знайдеться прямокутна система координат з початком в цій точці і прямокутник
такий, що перетин описується функцією
задовольняє на (проекції на площину умові Ліпшиця
де константа Мені залежить від зазначених точок і Гладкі і багато кусочно гладкі кордону охоплюються поняттям ліпшіцевой кордону. Для області з ліпшіцевой кордоном норма (1) еквівалентна наступній:
Можна розглядати більш загальні анізотропні простору (класи) де l = (l1. Ln) - позитивний вектор (див. Вкладення теореми). Для кожного такого вектора lеффектівно і певною мірою вичерпно визначається клас областей володіють тією властивістю, що якщо то будь-яку функцію можна продовжити на зі збереженням класу. Точніше, можна визначити на функцію з властивостями
де сні залежить від f (див. [3]).
Завдяки цій властивості нерівності типу теорем вкладення для функцій автоматично переносяться на функції
Для векторів виду l = (l1. Ln) області мають ліпшіцеви кордону. Для них
Дослідження просторів (класів) ведеться на основі спеціальних інтегральних уявлень функцій, що належать цим класам. Перше таке шоу отримано (див. [1], [2]) для ізотропного простору області зоряної щодо деякого кулі. Подальший розвиток цього методу см. Напр. у 3].
Класи W l p і W l p отримали узагальнення на випадок дробових чисел пли векторів l = (l1. Ln) з дробовими компонентами lj.
Простір розглядають і для негативних цілих l. Елементами його є, взагалі кажучи, узагальнені функції f. т. е. лінійні функціонали над фінітними в нескінченно диференційованими функціями
За визначенням, узагальнена функція / належить класу при натуральному l = 1, 2, 3. вели кінцева верхня межа:
поширена на зазначені функції j з нормою в метриці що не перевищує одиницю (1 / p + 1 / q = 1). Можна ще сказати, що функції l = 1, 2. утворюють простір, поєднане до банахових просторах
Літ .. [1] Соболєв С. Л. лМатем. зб. Математична енциклопедія. - М. Радянська енциклопедія І. М. Виноградов 1977-1985
Допомога пошукових систем