В динаміці твердого тіла розглядають два основних види руху - поступальний і обертальний. При поступальному русі відрізок, що з'єднує будь-які дві точки тіла, переміщається паралельно самому собі. Оскільки всі точки тіла рухаються однаково, достатньо описати рух однієї точки. При обертальному русі всі точки твердого тіла рухаються по колах, центри яких лежать на прямій, званої віссю обертання (при цьому швидкості всіх точок перпендикулярні осі обертання).
Плоске рух твердого тіла можна уявити як сукупність двох основних видів руху - обертального щодо будь-якої осі і поступального зі швидкістю осі.
Зазвичай вісь обертання вибирають так, щоб вона проходила через центр мас тіла. Поступальний рух центру мас описується другим законом Ньютона, а обертальний рух в системі центру мас описується рівнянням моментів
де - момент інерції твердого тіла відносно осі обертання. При коченні однорідного циліндра (кулі, колеса) по площині без прослизання між лінійними величинами, котрі характеризують рух центру мас тіла (швидкістю і прискоренням), і кутовими величинами (кутовий швидкістю і кутовим прискоренням), що визначають обертальний рух тіла, існують співвідношення
Кінетична енергія плоского руху дорівнює
Плоске рух можна розглядати як чисто обертальний щодо миттєвої осі обертання (розділ II, завдання 2.4). Миттєва вісь - це вісь, що проходить через нерухомі в даний момент точки тіла. Положення миттєвої осі змінюється з часом. Наприклад, в разі котиться по площині циліндра (кулі, колеса) миттєва вісь в кожен момент часу збігається з лінією торкання циліндра і площини.
При вирішенні завдань необхідно:
1) записати другий закону Ньютона для центру мас твердого тіла;
2) записати основне рівняння динаміки обертального руху, щодо осі обертання в скалярною формі, замінюючи відповідні величини (кутове прискорення, момент сили і т.д.) проекціями цих векторів на вісь обертання;
3) якщо число записаних рівнянь менше числа невідомих, то необхідно використовувати кінематичні і динамічні зв'язки між невідомими. Таким чином, отримують систему рівнянь, число яких дорівнює числу невідомих.
7.4. Тонкий однорідний стрижень АВ маси рухається поступально з прискоренням під дією сил і (ріс.58). Знайти довжину стрижня, якщо відстань між точками докладання зусиль одно.
Рішення. За умовою завдання стрижень рухається поступально, тому момент зовнішніх сил, що діють на стержень щодо будь-якої осі дорівнює нулю. Виберемо в якості осі вісь, що проходить через центр мас (точка С на ріс.58), і спрямовану перпендикулярно площині малюнка, тоді
Центр мас будь-якої системи частинок рухається так, як якщо б вся маса системи була зосереджена в цій точці і до неї були б включені всі зовнішні сили. Запишемо рівняння руху центру мас стержня в проекціях на вісь X:
Вирішуючи спільно записані рівняння, отримаємо шукану величину:
7.5. На однорідний суцільний циліндр маси M і радіуса R щільно намотана легка нитка, до кінця якої прикріплений вантаж m. У момент t = 0 система прийшла в рух. Нехтуючи тертям в осі циліндра, знайти залежність від часу:
а) модуля кутової швидкості циліндра;
б) кінетичної енергії всієї системи.
Рішення. а) Система складається з двох тіл (ріс.59): вантажу маси m. рухається поступально уздовж осі X. і циліндра маси M. обертового щодо осі Z. проходить через вісь циліндра, перпендикулярно площині малюнка «від нас» (значок на ріс.59).
На вантаж діє сила тяжіння і сила натягу нитки. Складемо рівняння руху вантажу в проекціях на вісь X
На циліндр діють сила тяжіння. сила реакції кріплення і сила натягу нитки. Момент, що обертає щодо осі Z створює тільки сила натягу нитки (оскільки тільки у цієї сили є плече щодо осі Z). Складемо рівняння руху циліндра щодо осі Z:
Момент інерції циліндра
Невагомість нитки дозволяє вважати силу натягу уздовж всієї нитки постійною за модулем
Якщо нитка не прослизає щодо циліндра, то дотичне прискорення його точок, що стикаються з ниткою, дорівнює прискоренню нитки в будь-який її точці, а, отже, і прискоренню вантажу
Кутова швидкість циліндра (див. Розділ I) дорівнює
Вирішуючи систему з рівнянь (1) - (6) отримаємо вирази для кутової швидкості циліндра
б) Кінетична енергія системи складається з енергії поступально рухається вантажу і енергії обертового циліндра
Враховуючи що . знайдемо кінетичну енергію системи
7.6. Однорідний циліндр скочується без ковзання по похилій площині, що становить кут з горизонтом. Знайти прискорення циліндра.
Рішення: Направимо вісь X уздовж похилій площині вниз, а вісь Z - перпендикулярно площині креслення, що проходить через центр мас циліндра (значок на ріс.60). Циліндр здійснює плоский рух - поступальний (уздовж осі X) і обертальний (щодо осі Z).
Покажемо сили, що діють на циліндр при його русі вниз. На циліндр діють сила тяжіння. а з боку поверхні в нормальному напрямку - сила нормальної реакції опори і проти напрямку руху - сила тертя (ріс.60). Оскільки прослизання немає, сила тертя є силою тертя спокою.
Рівняння поступального руху циліндра в проекціях на осі X має вигляд
Рівняння обертального руху циліндра щодо осі Z. проходить через центр циліндра:
де - момент інерції циліндра відносно осі обертання, - кутове прискорення циліндра, - його радіус.
Умова відсутності прослизання () приводить до рівняння
Вирішуючи систему записаних рівнянь, знайдемо прискорення циліндра
7.7. Однорідний суцільний циліндр маси m і радіуса R (ріс.61) в момент t = 0 починає опускатися під дією сили тяжіння. Нехтуючи масою нитки, знайти кутове прискорення циліндра.
Рішення. Направимо вісь X вертикально вниз вздовж руху циліндра, а вісь Z - перпендикулярно площині креслення, що проходить через центр мас циліндра (значок на ріс.61). Циліндр здійснює плоский рух - поступальний рух уздовж осі X і обертальний навколо осі Z. Покажемо сили, що діють на циліндр при його русі вниз, це сила тяжіння і сила натягу нитки. Запишемо систему рівнянь, що описують рух циліндра. Рівняння поступального руху циліндра в проекціях на вісь X
де a - прискорення центра мас циліндра.
Рівняння обертального руху циліндра щодо осі Z
де - момент інерції циліндра відносно осі обертання, - кутове прискорення циліндра, - його радіус.
Нитка не прослизає, тому співвідношення між кінематичними параметрами
Вирішивши спільно записані рівняння, отримаємо кутове прискорення циліндра:
7.8. Однорідне кільце радіуса R розкрутили до кутової швидкості і обережно поклали на горизонтальну площину. Скільки часу кільце буде обертатися на площині, якщо коефіцієнт тертя дорівнює.
Рішення. Направимо вісь Z перпендикулярно горизонтальній площині, на яку поклали кільце (ріс.62). Рівняння обертального руху кільця щодо осі Z:
Виділимо на кільці малий елемент масою і знайдемо момент сили тертя цього елемента щодо осі Z:
Тоді момент сили тертя кільця щодо цієї осі дорівнює
З огляду на, що момент інерції кільця щодо осі Z дорівнює. рівняння обертального руху набуде вигляду:
У момент зупинки кільця його кутова швидкість дорівнює нулю. тому, проинтегрировав ліву частину рівняння від до 0, а праву від 0 до. отримаємо
звідки висловимо шукану величину: