Поточна вартість одиниці - це величина, зворотна накопиченої суми одиниці, тобто поточна вартість одиниці, яка повинна бути отримана в майбутньому (рисунок 6.11).
Для її визначення з формули FVn = PV · (1 + r) nнайдем PV.
PV = FVn · 1 / (1 + r) n = FVn · FМ2 (r, n),
де FМ2 (r, n) = 1 / (1 + r) n - дисконтирующий множник (множник приведення), значення якого розраховані для різних значень (r) і (n) і представлені у відповідних фінансових таблицях. Іноді його обозначают- PVIF (від англ. Present Value Interest Factor - процентний множник поточної вартості)
Малюнок 6.11 - Поточна вартість реверсії
Економічний сенс множника FМ2 (r, n) полягає в тому, що він показує сьогоднішню ціну однієї грошової одиниці майбутнього, тобто чому з позиції поточного моменту дорівнює одна грошова одиниця, що генерується через (n) періодів від моменту розрахунку при заданій процентній ставці (r). А тому знаменник дробу більше одиниці, то приведена вартість буде нижче майбутньої вартості.
Приклад. Скільки потрібно вкласти на рахунок в банку, що приносить 10% річних, щоб через 5 років на ньому було $ 100.
PV = 100 · 1 / (1 + 0,1) 5 = 62,09.
Поточна вартість ануїтету
Часто буває так, що потрібно оцінити поточну вартість серії майбутніх платежів, т. Е. Ануїтету. Як і в випадку майбутньої вартості ануїтету, ануїтет може бути звичайний і авансовий.
Очевидно, що поточна вартість n -періодного звичайного ануїтету дорівнює сумі поточних вартостей всіх майбутніх платежів (рис.).
Малюнок 6.12 - Поточна вартість ануїтету
Позначимо поточну вартість k -го платежу як (PVk). Тоді поточна вартість кожного платежу буде дорівнює:
а поточна вартість ануїтету
PVАpst = # 931; PVk = А · # 931; 1 / (1 + r) k,
де (k) змінюється від (1) до (n).
Позначимо 1 / (1 + r) через (q). Тепер отриману суму можемо записати як:
Помноживши обидві частини цього рівняння на (q), отримаємо:
Віднявши з отриманого рівняння попереднє, отримаємо:
Тепер розділимо чисельник і знаменник на (-q) (від цього значення дробу не зміниться), підставимо замість (q) його значення (1 / (1 + r)), і отримаємо:
S = (1 qn) / (1 / q - 1) = (1 1 / (1 + r)) n / (1 + r-1) = (1 1 / (1 + r) n) / r = (1- (1 + r) -n) / r.
Отриманий вираз являє собою дисконтирующий множник, що позначається (FМ4 (r, n)). Його значення для різних значень (r) і (n), розраховані і табульовані (представлені у вигляді таблиць). Даний множник позначають також - PVIFA (r, n) - Present Value Interest Factor of Annuity (процентний множник поточної вартості ануїтету)
Економічний сенс множників, що дисконтуються FМ4 (r, n) полягає в тому, що він показує, чому дорівнює з позиції поточного моменту величина майбутнього ануїтету з регулярними грошовими надходженнями в розмірі однієї грошової одиниці.
Тепер формулу розрахунку поточної вартості ануїтету можна записати, як:
PVАpst = А · (1- (1 + r) -n) / r = А · FМ4 (r, n).
Приклад. Щорічний платіж за оренду дачі становить $ 1000, ставка 10%, термін оренди 2 роки. Визначити поточну вартість платежів.
PV = 1000 (1- (1 / (1 + 0,1) 2) / 0,1 = 1735,55.
Аналогічно звичайному ануїтету, обчислюється поточна вартість для авансового ануїтету.
Як і щодо майбутньої вартості авансового ануїтету, що визначається за формулою:
FVАpre = FVАpst · (1+ r).
приведена вартість авансового ануїтету буде визначатися за формулою:
PVАpre = PVАpst · (1+ r) = А · FМ4 (r, n) · (1+ r) = А · ((1 - (1 + r) - (n-1)) / r + 1).
Внесок на амортизацію одиниці
Амортизація - процес погашення (ліквідації) боргу протягом певного періоду часу (рисунок 13).
Малюнок 6.13 - Погашення боргу рівними платежами
Ця функція дозволяє визначити, яким буде обов'язковий періодичний платіж по кредиту, що включає виплату відсотків і частини основної суми боргу, і дозволяє погасити кредит протягом встановленого терміну.
Виявляється, для того, щоб ануїтет погашав кредит, поточна вартість цього ануїтету має дорівнювати первісної суми кредиту. Використовуючи формулу поточної вартості ануїтету
ми можемо отримати величину періодичного платежу - внеску на амортизацію капіталу:
А = PVА · r / (1- (1 + r) -n) = PVА · FМ6 (r, n),
де FМ6 (r, n) = r / (1- (1 + r) -n) - дисконтирующий множник, значення якого розраховані для різних значень (r) і (n) і представлені у відповідних фінансових таблицях.
Економічний сенс множника FМ6 (r, n) полягає в тому, що він показує величину періодичних платежів необхідних для погашення однієї грошової одиниці через (n) періодів.
Кожен платіж складається з двох частин: А = on + of,
де on - погашення відсотків;
of - погашення кредиту.
5687 · 5 = 28435 - сума, що сплачується в відшкодування кредиту.
Залишок боргу на початок року