Деякі питання динаміки реактивного руху.
У даній роботі розглядаються питання динаміки реактивного руху стартують космічних кораблів. У чому ж її актуальність?
По-перше, все польоти надзвукових літаків і ракет в даний час засновані на роботі реактивних двигунів, так як, щоб літак міг летіти хоча б зі швидкістю 1000 км / год, потрібен двигун дуже великої потужності. Звичайний поршневий двигун важив би при такій потужності кілька тонн, і йому б не вистачило місця на борту літака.
# 9; По-друге, майбутнє, якщо не космічного, то земного транспорту при переміщеннях на далекі відстані, за літаками з реактивними двигунами, що використовують екологічно чисті види палива.
# 9; Таким чином, кожна освічена людина повинна знати принципи роботи реактивного двигуна.
Глава I. Сила тяги і потужність реактивного двигуна ракети.
1.1. Сила тяги реактивного двигуна. Обчислимо силу тяги реактивного двигуна космічного корабля, що стартує з Землі вертикально вгору. Рух корабля будемо розглядати в системі координат, пов'язаної з Землею, причому цю систему приймаємо за інерційну.
# 9; Нехай # 109; - секундний витрата палива, u - швидкість вильоту газів із сопла двигуна щодо ракети (щодо ракети), # 109;> 0 і u> 0, (D - приріст, тобто "дельта".)
# 9; Працюючий двигун як би "забирає" у ракети безперервно, порція за порцією, пальне і, спалюючи його в камері згоряння, викидає, утворюючи реактивний струмінь.
# 9; Нехай в деякий момент часу двигун "забрав" порцію пального масою # 68; m. Кількість руху цієї порції до згоряння направлено вгору і так само v # 68; m. де v - миттєва швидкість ракети щодо Землі (абсолютна швидкість).
# 9; За малий проміжок часу # 68; t маса # 68; m згорає і викидається з сопла двигуна з відносною швидкістю u в напрямку, протилежному руху ракети, тобто швидкістю v - u відносно Землі. Спочатку, при v
# 9; Після згоряння викидається маса володіє абсолютною кількістю руху
отже, за час збільшення її кількості руху складе:
# 9; В одиницю часу зміна кількості руху маси одно - u # 68; m / # 68; t. Фізично ця величина являє собою силу F 'тиску на струмінь, що створюється роботою реактивного двигуна. Враховуючи що # 68; m / # 68; t = # 109 ;. отримуємо:
Знак "мінус" показує, що сила F ', що діє на утворюється газовий струмінь, спрямована до Землі.
# 9; По третьому закону Ньютона при взаємодії двигуна з викидається їм струменем остання діє на двигун ракети в протилежну сторону з силою F = - F ', тобто
Її називають реактивної силою.
Таким чином, при стаціонарному режимі роботи реактивного двигуна сила тяги постійна, спрямована вгору (в сторону руху корабля) і дорівнює добутку секундного витрати палива на відносну швидкість викидаються газів.
# 9; Знаючи реактивну силу, можна написати рівняння руху ракети, яке без урахування поля тяжіння має вигляд:
де # 68; v / # 68; t - прискорення ракети. При наявності поля тяжіння рівняння руху буде:
Зовнішнє силове поле не змінює величини створюваної двигуном реактивної сили, так як остання визначається лише режимом роботи самого двигуна ракети, воно змінює лише закон руху корабля.
Інтегруючи рівняння (3), К. Е. Ціолковський вперше знайшов, що швидкість корабля в просторі поза полем тяжіння зростає за логарифмічною закону:
де m0 - початкова маса корабля, m - його маса в довільний момент.
# 9; 1.2.Мощность реактивного двигуна. При визначенні потужності реактивного двигуна космічного корабля потрібно врахувати, що робота двигуна забезпечує не один, а два процеси: прискорений підйом космічного корабля і формування минає реактивного струменя. Тому потужність реактивного двигуна дорівнює сумі потужностей, що йдуть на обидва ці процеси.
# 9; Потужність, що забезпечує підйом космічного корабля, дорівнює добутку сили тяги F = # 109; u на швидкість ракети u. Оскільки реактивна сила і швидкість ракети спрямовані вгору, то величина # 109; u v береться зі знаком "плюс".
# 9; Потужність реактивного струменя чисельно дорівнює роботі за одиницю часу спрямованої вниз сили F '. Цю силу можна обчислити як добуток сили F 'на середню швидкість забирається двигуном у ракети і потім викидається пального. Так як початкова швидкість забирається пального дорівнює v. а кінцева (швидкість витікання газів) v - u. то середня швидкість дорівнює:
Сила F 'і середня швидкість v спрямована протилежно один одному, тому відповідна потужність обчислюється за формулою:
Таким чином, потужність реактивного двигуна повинна бути дорівнює:
N = 0,5 # 109; u 2 (7)
# 9; Потужність реактивного двигуна можна обчислити і інакше:
як суму збільшень в одиницю часу кінетичної енергії ракети і кінетичної енергії минає струменя. Міркування ведуться наступним чином.
# 9; В деякий момент часу ракета має кінетичної енергією m v 2 / 2. Через деякий час # 68; t ракета як би "розпадається" на дві частини, маса однієї з них m - # 68; m (її швидкість v + # 68; v), маса другої # 68; m (її швидкість v - u). Приріст кінетичної енергії ракети за час # 68; t становить:
а енергія, "пішла" разом з порцією # 68; m в струмінь, дорівнює:
# 9; Отже, повний приріст кінетичної енергії системи "ракета струмінь" за час # 68; t одно:
(Відкинуті малі величини, порядок яких вище першого. Ця операція не робить, проте, обчислення наближеним: подальший перехід до межі # 68; t → 0 все одно звертає відкинуті доданки в нулі.)
# 9; Розділивши # 68; E на # 68; t, отримаємо шукану потужність N:
# 9; З огляду на (3) і рівність # 68; m / # 68; t = # 956 ;, # 959; олучают для потужності двигуна знову формулу (7).
Глава II. Парад кси тяги реактивного двигуна і енергії ракети.
# 9; 2.1. Парадокс тяги реактивного двигуна. Розглянемо цікаве питання: чи може корисна потужність реактивного двигуна ракети стати більше потужності цього двигуна? Позитивна відповідь звучить парадоксально. У той же час він очевидний: корисна потужність двигуна # 956; u v при зростанні швидкості v. дійсно, перевершить постійну потужність двигуна # 956; u 2/2, як тільки
v> u / 2. Це дивна властивість корисної потужності двигуна називають парадоксом тяги.
# 9; В результаті чого ж виникає надлишок корисної потужності реактивного двигуна? Відповідь на це питання можна знайти на основі закону збереження енергії.
# 9; Потужність двигуна # 956; u 2/2 повинна дорівнювати сумі двох потужностей: корисної # 956; u v і потужності, що йде на формування струменя. Остання величина, в свою чергу, дорівнює:
де перше слагаемое- потужність реактивного струменя, друге- потужність пального цього струменя, якої вона мала до свого згоряння (коли перебувало ще в паливному баку і рухалося разом з кораблем зі швидкістю самого корабля v). Зрозуміло, тут розглядається ідеальний випадок, коли немає втрат. Таким чином, закон збереження енергії для ракети запишеться у вигляді:
У правій частині цього виразу представлена повна "споживана" потужність: потужність # 956; u v просувалася ракети і потужність
утворилася струменя. Отже, в лівій його частині повинна бути повна "витрачається" потужність. Вона дорівнює:
Надлишок потужності тяги двигуна черпається за рахунок другого доданка:
тобто за рахунок потужності відкидаються газів, якою вони володіли ще до свого згоряння і виділення з сопла.
У підсумку приходимо до наступного висновку: повідомляючи ракеті дедалі більшу швидкість, що працює реактивний двигун тим самим безперервно акумулює кінетичну енергію в ще не який встиг згоріти паливі ракети. З деякого моменту (коли v> u / 2) ця безперервно "нагнітається" в наявне пальне ракети енергія починає використовуватися при його згорянні додатково для збільшення тяги двигуна. У цьому фізична сутність феномена тяги реактивного двигуна.
# 9; Бажаючи охарактеризувати реактивний двигун з точки зору його призначення (створювати корисну потужність тяги), вводять так званий ККД реактивного двигуна, що дорівнює відношенню корисної потужності двигуна до повної споживаної потужності:
де через R позначено v / u. Очевидно, що ККД # 951; <1 (из неравенства (1– R) 2 ≥ 0 сразу следует, что 1+R 2 ≥ 2R). Он возрастает от 0 до 1, когда скорость v увеличивается от 0 до u. и убывает от 1 до 0 при дальнейшем увеличении скорости v.
2.2.Парадокс енергії ракети. Обчислимо приріст кінетичної енергії ракети за малий проміжок часу # 68; t.
Зі зменшенням маси ракети за час # 68; t від m до m - # 68; m її швидкість зростає від v до v + # 916; v. Тоді приріст кінетичної енергії ракети одно:
(Відкинуті малі величини другого порядку).
# 9; Перепишемо останню формулу так:
Беручи до уваги співвідношення (3), отримуємо:
# 9; З цієї формули видно, що # 68; E> 0, коли v <2 u. и D E <0 при v> 2 u. Значить, кінетична енергія ракети спочатку зростає, а потім, коли швидкість ракети досягне і перевершить значення 2 u. починає спадати. Чудово, що при цьому і швидкість ракети, і корисна потужність двигуна продовжують збільшуватися.
# 9; Отже, двигун працює в стаціонарному режимі, швидкість ракети зростає, потужність тяги збільшується, але кінетична енергія ракети убуває, та ще в зростаючому темпі! У чому секрет цього "феномена енергії"?
# 9; Пояснення слід знову з розгляду рівняння енергії (10). Звернемо увагу на те, що в цьому рівняння при v> 2 u
тобто, коли швидкість стане більше подвійної відносної швидкості витікання газів, енергія, що буря газом, зростає так, що закінчується струмінь газу понесе не тільки всю енергію, вироблену двигуном, а й значну частину енергії, яка акумулює в паливі корабля протягом всього його руху.
У тридцяті роки XX-го століття з'явився перший реактивний двигун, а через тридцять років космічний корабель, оснащений їм, з людиною на борту покинув Землю.
В даний час майже всі літаки і ракети оснащені реактивними двигунами, внаслідок цього кожна людина хоча б поверхово повинен ознайомитися з принципами їх роботи, тому темою даної роботи було вивчення особливостей реактивного руху, а зокрема сили тяги і потужності.
В ході дослідження було виявлено такі закономірності.
По-перше, швидкість космічного корабля в просторі поза полем тяжіння зростає за логарифмічною закону:
де m0 - початкова маса корабля, m - його маса в довільний момент.
По-друге, потужність реактивного двигуна дорівнює:
де # 109; - секундний витрата палива, u - швидкість вильоту газів із сопла двигуна щодо ракети (щодо ракети).
По-третє, коли швидкість стане більше подвійної відносної швидкості витікання газів, енергія, що буря газом, зростає так, що закінчується струмінь газу понесе не тільки всю енергію, вироблену двигуном, а й значну частину енергії, яка акумулює в паливі корабля протягом всього його руху .
# 9; Таким чином, з проведеного дослідження випливає, що реактивний двигун при своїй потужності найбільш підходить для пересування не тільки в повітряному, але і безповітряному просторі.