1. Імовірність появи хоча б однієї події.
2. Формула Бернуллі.
3. Наближення формули Бернуллі.
Імовірність появи хоча б однієї події.
Нехай в результаті випробування можуть з'явитися п подій, незалежних в сукупності, або деякі з них (в, зокрема, тільки одне або жодного), причому ймовірності появи кожного з подій відомі. Щоб знайти ймовірність того, що настане хоча б одне з цих подій, скористаємося наступною теоремою.
Теорема 4: ймовірність появи хоча б однієї з подій. незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком вероят-ностей протилежних подій:
Доказ: позначимо через А подія, що складається в появі хоча б однієї з подій. Події А і (жодна з подій не настав) протилежні, отже, сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:
Звідси, користуючись теоремою множення, одержимо
Окремий випадок: якщо події мають однакову ймовірність, рівну р, то ймовірність появи хоча б одного з цих подій дорівнює
Припустимо тепер, що виробляється n незалежних випробувань в незмінних умовах, в результаті кожного з яких може наступити або не наступити деяке подія A. Нехай при кожному випробуванні ймовірність настання події А однакова і дорівнює. Отже, ймовірність протилежної події (ненастання А) дорівнює.
Визначимо ймовірність того, що подія А відбудеться m раз при цих n випробуваннях.
При цьому зауважимо, що настання або ненастання події А можуть чергуватися по-різному. Домовимося записувати можливі результати випробувань у вигляді комбінацій букв і. Наприклад, запис означає, що в чотирьох випробуваннях подія здійснилося в 1-м і 4-м випадках і не здійснилося у 2-му і 3-му випадках.
Будь-яку комбінацію, в яку входить раз і, відповідно, входить раз, назвемо сприятливою. Кількість сприятливих комбінацій дорівнює кількості способів, якими можна вибрати чисел з даних; таким чином, воно дорівнює числу сполучень з n елементів по m. тобто
Підрахуємо тепер ймовірності сприятливих комбінацій. Розглянемо спочатку випадок, коли подія A відбувається в перших випробуваннях і, отже, не відбувається в інших випробуваннях. Така сприятлива комбінація має наступний вигляд:
Імовірність цієї комбінації в силу незалежності випробувань (на підставі теореми множення ймовірностей) становить
Так як в будь-якій іншій сприятливою комбінації подія зустрічається також раз, а подія відбувається раз, то ймовірність кожної з таких комбінацій також дорівнює. Отже
Все сприятливі комбінації є, очевидно, несумісними. Тому (на підставі аксіоми додавання ймовірностей)
Або, так як. то
Формула (2.4) називається формулою Бернуллі (Я. Бернуллі (1654-1705) - швейцарський математик).
Так як ймовірності для різних значень є складові в розкладанні бінома Ньютона:
то розподіл ймовірностей. де. називається біномінальної.
Приклад 9. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,6. Яка ймовірність того, що 8 пострілів дадуть 5 влучень?
Використовуючи формулу (2.4), маємо
Часто необхідно знати, при якому значенні ймовірність приймає найбільше значення, т. Е. Потрібно знайти найімовірніше число настання події A в даній серії дослідів. Можна довести, що число повинне задовольняти подвійному нерівності
Зауважимо, що сегмент. в якому лежить. має довжину. Тому, якщо який-небудь з його кінців не є цілим числом, то між цими кінцями лежить єдине ціле число, і визначено однозначно. У тому випадку, якщо обидва кінці - цілі числа, є два Найімовірніше значення: і.
Приклад 10. Визначити найімовірніше число влучень в ціль в прикладі 1.
Відповідно до формули (2.5) найімовірніше значення лежить на сегменті і, отже, дорівнює 5.
Наближення формули Бернуллі
При великих значеннях n підрахунок ймовірностей за формулою (2.4) пов'язаний з громіздкими обчисленнями. В цьому випадку зручніше користуватися наближеними формулами.
1. Локальна формула Муавра-Лапласа.
де не дорівнює нулю і одиниці,. а
Формула (2.6) виражає так звану локальну теорему Лапласа (П. Лаплас (1749-1827) - французький математик і астроном.). Точність цієї формули підвищується зі зростанням n.
Функція формула (2.7), як ми побачимо надалі, грає дуже велику роль в теорії ймовірностей (див. Рис. 2.1). Її значення при різних значеннях аргументу наведені в Додатку (див. Табл. I). Вона являє собою функцію ймовірності нормального розподілу (ми ще повернемося до неї). При. . тому функція затабулірована для.
Приклад 11. гральні кістки кидають 80 разів. Визначити ймовірність того, що цифра 3 з'явиться 20 разів.
Використовуючи формулу (15), отримаємо
так як з табл. I знаходимо, що.
2. Якщо то використовують так звану формулу Пуассона
Приклад 12. Завод відправив 5000 доброякісних виробів. Імовірність того, що в дорозі розбили один виріб - 0,0002. Знайти ймовірність того, що в дорозі буде пошкоджено:
в) не більше трьох виробів.
Рішення. Маємо і. тому застосовуємо формулу Пуассона.
3. При великих значеннях. для обчислення ймовірності того, що відбудеться від до подій за схемою Бернуллі, використовується інтегральна формула Муавра-Лапласа:
- функція Лапласа (див. рис. 2.2.).
До функції Лапласа ми ще не раз будемо звертатися, а поки відзначимо, що має такі властивості.
1) - функція непарна, тому досить застосовувати її для невід'ємних значень;
2) функція зростає на всій числовій осі;
3) при. (- горизонтальна асимптота при), тому функція представлена у вигляді таблиці для (Додаток. I);
4) ймовірність відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях не більше ніж на деяке число дорівнює:
Приклад 13. Стрілець виконав пострілів, ймовірність одного попадання. Знайти ймовірність того, що він потрапить від до раз.
Рішення. Згідно інтегральної формулою
Приклад 14. У кожному з незалежних випробувань ймовірність успіху. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від постійної ймовірності по абсолютній величині не більше ніж на.
Приклад 15. Скільки разів потрібно кинути монету, щоб з ймовірністю можна було очікувати, що відхилення відносної частоти появи герба від ймовірності виявиться по абсолютній величині не більше ніж на?
Рішення. За умовою . Звідси