При множенні і діленні цілих чисел застосовується кілька правил. В даному уроці ми розглянемо кожне з них.
При множенні і діленні цілих чисел слід звертати увагу на знаки чисел. Від них залежатиме, яке правило застосовувати. Також, необхідно вивчити кілька законів множення і ділення. Вивчення цих правил дозволяє уникнути деякі прикрі помилки в майбутньому.
закони множення
Деякі з законів математики ми розглядали в уроці закони математики. Але ми розглянули не всі закони. В математиці чимало законів, і розумніше буде вивчати їх послідовно в міру необхідності.
Для початку згадаємо, з чого складається множення. Множення складається з трьох параметрів: множимо. множника і твори. Наприклад, розглянемо найпростіше вираження:
Тут 3 - це множимое, 2 - множник, 6 - твір.
Множимо показує, що саме ми збільшуємо. У нашому прикладі ми збільшуємо число 3.
Множник показує у скільки разів потрібно збільшити множимое. У нашому прикладі множник це число 2. Цей множник показує у скільки разів потрібно збільшити множимое 3. Тобто, в ході операції множення число 3 буде збільшено в два рази.
Твір - це власне результат операції множення. У нашому прикладі твір це число 6. Цей твір є результатом множення 3 на 2.
Вираз 3 × 2 також можна розуміти, як суму двох трійок. Множник 2 в даному випадку буде показувати скільки разів потрібно скласти трійки:
Переместітельний закон множення
Ми вже розглядали переместітельний закон множення в уроці закони математики. Давайте повторимо його ще раз.
Множимо і множник називають одним загальним словом - співмножники. Переместітельний закон множення виглядає наступним чином:
Від перестановки місць співмножників твір не змінюється.
Перевіримо чи це так. Помножимо наприклад 3 на 5. Тут 3 і 5 це співмножники.
Тепер поміняємо місцями множники:
В обох випадках, ми отримуємо відповідь 15, значить між виразами 3 × 5 і 5 × 3 можна поставити знак рівності, тому що вони несуть одне і те ж значення:
А за допомогою змінних переместітельний закон множення буде виглядати так:
де a і b - множники
Сполучний закон множення
Цей закон говорить про те, що якщо вираз складається з декількох співмножників, то твір не буде залежати від порядку дій.
Наприклад, вираз 3 × 2 × 4 складається з декількох співмножників. Щоб його вирахувати, можна спочатку перемножити 3 і 2, потім отриманий добуток помножити на час, що залишився число 4. Виглядати це буде так:
3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24
Це був перший варіант рішення. Другий варіант полягає в тому, що спочатку можна перемножити 2 і 4, потім отриманий добуток помножити на час, що залишився число 3. Виглядати це буде так:
3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24
В обох випадках, ми отримуємо відповідь 24. Тому між виразами і можна поставити знак рівності, тому що вони несуть одне і те ж значення:
(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)
а за допомогою змінних сполучний закон множення можна записати так:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
де замість a, b, c можуть стояти будь-які числа.
Розподільчий закон множення
Цей закон ми вивчали в уроці закони математики. Давайте повторимо його ще раз.
Розподільчий закон множення дозволяє помножити суму на число. Для цього, кожний доданок цієї суми множиться на це число, і отримані результати складають.
Наприклад, знайдемо значення виразу (2 + 3) × 5
Вираз знаходиться в дужках є сумою. Цю суму потрібно помножити на число 5. Для цього, кожний доданок цієї суми, тобто числа 2 і 3 потрібно помножити на число 5, і отримані результати скласти:
(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25
Значить значення виразу (2 + 3) × 5 дорівнює 25.
За допомогою змінних розподільний закон множення записується так:
(A + b) × c = a × c + b × c
де замість a, b, c можуть стояти будь-які числа.
Закон множення на нуль
Цей закон говорить про те, що якщо в будь-якому збільшенні є хоча б один нуль, то у відповіді вийде нуль. Виглядає закон таким чином:
Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із співмножників дорівнює нулю.
Наприклад, вираз 0 × 2 дорівнює нулю
Виникає питання «чому так відбувається?». В даному випадку, двійка є множником і показує у скільки разів потрібно збільшити множимое. Тобто, у скільки разів збільшити нуль. Буквально це вираз читається як «збільшити нуль в два рази». Але як можна збільшити нуль в два рази, якщо це нуль?
Іншими словами, якщо «нічого» збільшити в два рази або навіть в мільйон разів, все одно вийде «нічого».
І якщо в вираженні 0 × 2 поміняти місцями множники, знову ж вийде нуль. Це ми знаємо з попереднього переместітельного закону:
Приклади застосування закону множення на нуль:
2 × 5 × 0 × 9 × 1 = 0
В останніх двох прикладах є кілька співмножників. Побачивши в них нуль, ми відразу ж у відповіді поставили нуль, застосувавши закон множення на нуль.
Ми розглянули основні закони множення. Далі, розглянемо множення цілих чисел.
Множення цілих чисел
Приклад 1. Знайти значення виразу -5 × 2
Це множення чисел з різними знаками. -5 є негативним числом, а 2 - позитивним. Для таких випадків потрібно застосовувати таке правило:
Щоб перемножити числа з різними знаками, треба перемножити їх модулі, і перед отриманою відповіддю поставити знак мінус.
-5 × 2 = - (| -5 | × | 2 |) = - (5 × 2) = - (10) = -10
Зазвичай записують коротше: -5 × 2 = -10
Виникає питання «чому так відбувається?» Справа в тому, що будь-який множення може бути представлено у вигляді суми чисел. Наприклад, розглянемо вираз 2 × 3. Воно дорівнює 6.
Множником в даному вираз є число 3. Цей множник показує у скільки разів потрібно збільшити двійку. Але вираз 2 × 3 також можна представити у вигляді суми трьох двійок:
Те ж саме відбувається і з виразом -5 × 2. Цей вислів може бути представлено у вигляді суми
А вираз (-5) + (-5) одно -10, і ми це знаємо з минулого уроку. Це складання негативних чисел. Нагадаємо, що результат складання негативних чисел є негативне число.
Приклад 2. Знайти значення виразу 12 × (-5)
Це множення чисел з різними знаками. 12 - це позитивне число, (-5) - негативне. Знову ж застосовуємо попереднє правило. Перемножуємо модулі чисел і перед отриманою відповіддю ставимо знак мінус:
12 × (-5) = - (| 12 | × | -5 |) = - (12 × 5) = - (60) = -60
Зазвичай записують коротше: 12 × (-5) = -60
Приклад 3. Знайти значення виразу 10 × (-4) × 2
Цей вислів складається з декількох співмножників. Спочатку перемножимо 10 і (-4), потім отримане число помножимо на 2. Попутно можна застосувати раніше вивчені правила:
10 × (-4) = - (| 10 | × | -4 |) = - (10 × 4) = (-40) = -40
-40 × 2 = - (| -40 | × | 2 |) = - (40 × 2) = - (80) = -80
Значить значення виразу 10 × (-4) × 2 одно -80
Зазвичай записують коротше: 10 × (-4) × 2 = -40 × 2 = -80
Приклад 4. Знайти значення виразу (-4) × (-2)
Це множення негативних чисел. У таких випадках потрібно застосовувати таке правило:
Щоб перемножити негативні числа, потрібно перемножити їх модулі і перед отриманою відповіддю поставити знак плюс
(-4) × (-2) = | -4 | × | -2 | = 4 × 2 = 8
Плюс за традицією не пишемо, тому просто записуємо відповідь 8.
Зазвичай записують коротше (-4) × (-2) = 8
Виникає питання чому при множенні негативних чисел раптом виходить позитивне число. Давайте спробуємо довести, що (-4) × (-2) дорівнює 8 і ні чого іншого.
Спочатку запишемо такий вираз:
Укладемо його в дужки:
Додамо до цього висловом наше вираз (-4) × (-2). Його теж укладемо в дужки:
Все це прирівняємо до нуля:
Тепер починається найцікавіше. Суть в тому, що ми повинні обчислити ліву частину цього виразу, і в результаті отримати 0.
Отже, перший твір (4 × (-2)) одно -8. Запишемо в нашому вираженні число -8 замість твори (4 × (-2))
Тепер замість другого твору тимчасово поставимо крапки
Тепер уважно дивимося на вираз -8 + [...] = 0. Яке число має стояти замість трьох крапок, щоб дотримувалися рівність? Відповідь напрошується сам. Замість трьох крапок повинно стояти позитивне число 8 і ніяке інше. Тільки так буде дотримуватися рівність. Адже -8 + 8 дорівнює 0.
Повертаємося до вираження -8 + ((-4) × (-2)) = 0 і замість твори ((-4) × (-2)) записуємо число 8
Приклад 5. Знайти значення виразу -2 × (6 + 4)
Застосуємо розподільний закон множення, тобто помножимо число -2 на кожний доданок суми (6 + 4)
-2 × (6 + 4) = (-2 × 6) + (-2 × 4)
Тепер обчислимо вирази, що знаходяться в дужках. Потім отримані результати складемо. Попутно можна застосувати раніше вивчені правила. Запис з модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз
-2 × 6 = - (2 × 6) = - (12) = -12
-2 × 4 = - (2 × 4) = - (8) = -8
Значить значення виразу -2 × (6 + 4) одно -20
Зазвичай записують коротше: -2 × (6 + 4) = (-12) + (-8) = -20
Приклад 6. Знайти значення виразу (-2) × (-3) × (-4)
Вираз складається з декількох співмножників. Спочатку перемножимо числа -2 і -3, і отриманий добуток помножимо на час, що залишився число -4. Запис з модулями пропустимо, щоб не захаращувати вираз
Значить значення виразу (-2) × (-3) × (-4) одно -24
Зазвичай записують коротше: (-2) × (-3) × (-4) = 6 × (-4) = -24
закони розподілу
Перш, ніж ділити цілі числа, необхідно вивчити два закони розподілу.
В першу чергу, згадаємо з чого складається розподіл. Розподіл складається з трьох параметрів: діленого. подільника і приватного. Наприклад, розглянемо найпростіше вираження:
Тут 8 - це ділене, 2 - дільник, 4 - приватна.
Ділене показує, що саме ми ділимо. У нашому прикладі ми ділимо число 8.
Дільник показує на скільки частин треба розділити ділене. У нашому прикладі дільник це число 2. Цей дільник показує на скільки частин треба розділити ділене 8. Тобто, в ході операції ділення, число 8 буде розділене на дві частини.
Приватне - це власне результат операції ділення. У нашому прикладі приватне це число 4. Це приватна є результатом ділення 8 на 2.
Далі, розглянемо закони розподілу.
На нуль ділити не можна
Будь-яке число заборонено ділити на нуль. Виникає питання «чому?».
Справа в тому, що розподіл є зворотною операцією множення. Наприклад, якщо 2 × 6 = 12, то 12. 6 = 2
Видно, що другий вираз записано в зворотному порядку.
Тепер зробимо те ж саме для вираження 5 × 0. Ми знаємо із законів множення, що добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із співмножників дорівнює нулю. Значить і вираз 5 × 0 дорівнює нулю
Якщо записати цей вираз в зворотному порядку, то отримаємо:
Відразу в очі кидається відповідь 5, який виходить в результаті поділу нуль на нуль. Це неможливо і нерозумно.
У зворотному порядку можна записати і інше схоже вираз, наприклад 2 × 0 = 0
У першому випадку, розділивши нуль на нуль ми отримали 5, а в другому випадку 2. Тобто, кожен раз ділячи нуль на нуль, ми можемо отримати різні значення, а це неприпустимо в математиці.
Це було перше пояснення того, чому на нуль ділити не можна.
Друге пояснення полягає в тому, що розділити ділене на дільник означає знайти таке число, яке при множенні на дільник дасть ділене.
Наприклад вираз 8. 2 означає знайти таке число, яке при множенні на 2 дасть 8
Тут замість трьох крапок повинно стояти число, яке при множенні на 2 дає відповідь 8. Щоб знайти це число, достатньо записати цей вираз в зворотному порядку:
Тепер уявімо, що потрібно знайти значення виразу 5. 0. В даному випадку 5 - це ділене, 0 - дільник. Розділити 5 на 0 означає знайти таке число, яке при множенні на 0 дасть 5
Тут замість трьох крапок повинно стояти число, яке при множенні на 0 дає відповідь 5. Але не існує числа, яке при множенні на нуль дає 5.
Вираз [...] × 0 = 5 суперечить закону множення на нуль, який стверджує, що добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із співмножників дорівнює нулю.
А значить записувати вираз [...] × 0 = 5 в зворотному порядку, ділячи 5 на 0 немає ніякого сенсу. Тому і говорять, що на нуль ділити не можна.
За допомогою змінних даний закон записується таким чином:
Цей вислів можна прочитати так:
Число a можна розділити на число b. за умови, що b не дорівнює нулю.
Цей закон говорить про те, що якщо ділене і дільник помножити або розділити на одне й те саме число, то приватне не зміниться.
Наприклад, розглянемо вираз 12. 4. Значення цього виразу дорівнює 3
Спробуємо помножити ділене і дільник на одне і те ж число, наприклад на число 4. Якщо вірити властивості приватного, ми знову повинні отримати у відповіді число 3
(12 × 4). (4 × 4)
(12 × 4). (4 × 4) = 48. 16 = 3
Отримали відповідь 3.
Тепер спробуємо не помножити, а розділити ділене і дільник на число 4
(12. 4). (4. 4)
(12. 4). (4. 4) = 3. 1 = 3
Отримали відповідь 3.
Бачимо, що якщо ділене і дільник помножити або розділити на одне й те саме число, то приватне не змінюється.
Ми розглянули два закони розподілу. Далі розглянемо розподіл цілих чисел.
Розподіл цілих чисел
Приклад 1. Знайти значення виразу 12. (-2)
Цей поділ чисел з різними знаками. 12 - це позитивне число, (-2) - негативне. У таких випадках, потрібно модуль діленого поділити на модуль дільника, і перед отриманою відповіддю поставити знак мінус.
Зазвичай записують коротше 12. (-2) = -6
Приклад 2. Знайти значення виразу -24. 6
Цей поділ чисел з різними знаками. -24 - це негативне число, 6 - позитивне. У таких випадках знову ж потрібно модуль діленого поділити на модуль дільника, і перед отриманою відповіддю поставити знак мінус.
Зазвичай записують коротше -24. 6 = -4
Приклад 3. Знайти значення виразу (-45). (-5)
Цей поділ негативних чисел. У таких випадках, потрібно модуль діленого поділити на модуль дільника, і перед отриманою відповіддю поставити знак плюс.
(-45). (-5) = | -45 |. | -5 | = 45. 5 = 9
Зазвичай записують коротше (-45). (-5) = 9
Приклад 4. Знайти значення виразу (-36). (-4). (-3)
Згідно з порядком дій. якщо в вираженні присутній тільки множення або ділення, то всі дії потрібно виконувати зліва направо в порядку їх слідування.
Розділимо (-36) на (-4), і отримане число розділимо на (-3)
(-36). (-4) = | -36 |. | -4 | = 36. 4 = 9
Зазвичай записують коротше (-36). (-4). (-3) = 9. (-3) = -3
Сподобався урок?
Вступай в нашу нову групу Вконтакте і почни отримувати повідомлення про нові уроках