Завдання 1: Як, нічого не вимірюючи, відрізати від стрічки довжиною 1 м 44 см шматок завдовжки 27 см?
Рішення: Складемо стрічку вдвічі, потім - ще раз вдвічі, потім - ще і ще раз. В результаті лінії згинів розділять стрічку на 16 рівних частин довжиною по 144: 16 = 9 см кожна. Залишилося відрізати три таких частини.
Завдання 2: Вася задумав ціле число. Коля помножив його чи то на 5, чи то на 6. Женя додав до результату Коли не то 5, чи то 6. Саша відняв від результату Жені не те 5, не те 6. В результаті вийшло 71. Яке число задумав Вася? Постарайтеся перерахувати всі можливі варіанти відповіді і пояснити, як Ви міркували.
Рішення: Саша відняв від результату Жені або стільки ж, скільки Жінки додав до результату Колі, або на одиницю більше, або на одиницю менше. Тому результат Колі дорівнює або 70, або 71, або 72. З трьох цих чисел на 5 ділиться тільки число 70, а на 6 - тільки число 72. Тому Вася задумав або число 70: 5 = 14, або число 72: 6 = 12 .
Завдання 3: Чотири приятеля збирали гриби. На питання: «Скільки грибів ви разом зібрали?" Вони відповіли так. Петя: «Не менше ста". Вася: «Білих - двадцять, а решта я не вважав". Міша: «Вас помиляється". Юра: «Не більше 99". Скільки хлопців сказали правду? Відповідь поясніть.
Рішення: Зауважимо, що якщо Петя прав, то Юра неправий, і навпаки. Крім того, якщо Вася прав, то Міша неправий, і навпаки. Таким чином, в парі Петя - Юра рівно один хлопчик сказав правду і в парі Вася - Міша теж. Виходить, що правду сказали рівно двоє.
Завдання 4: На малюнку праворуч зображено план міста. У місті чотири кільцевих автобусні маршрути. Автобус 1 ходить по маршруту В-Г-Д-Е-Ж-З-В, довжина якого - 17 км. Автобус 2 ходить по маршруту А-Б-В-Е-Ж-З-А, довжина якого - 12 км. Автобус 3 ходить по маршруту А-З-Ж-Е-Д-Г-В-Б-А, довжина якого - 20 км. Автобус 4 ходить по маршруту В-З-Ж-Е-В. Знайдіть довжину цього маршруту і поясніть, як Ви це зробили.
Рішення: Обведемо олівцем маршрути автобусів 1 і 2. Тоді всі відрізки на малюнку виявляться обведеними один раз, крім відрізків ЖЗ і Ж, обведених двічі, а загальна довжина проведених ліній складе 17 + 12 = 29 км. Тепер віднімемо з цієї суми відрізки, що входять в маршрут 3. Після цього відрізки ЗА, АБ, БВ, ВГ, ГД і ДЕ зникнуть, відрізки ЖЗ і Ж входитимуть в різниця по одному разу, і, крім того, там залишаться відрізки ЗВ і ВЕ, за якими маршрут 3 не проходить. Але відрізки ЗВ, ВЕ, Ж і ЖЗ разом якраз і складають маршрут 4. Значить, його довжина дорівнює 29 - 20 = 9 км.
Завдання 5: У купці - 64 сірники. Двоє по черзі роблять ходи. За один хід можна взяти з купки будь непарне число сірників, менше 16, причому забороняється повторювати вже зроблені ходи - як свої, так і суперника (тобто, якщо хтось черговим ходом взяв якесь число сірників, то в подальшому ні він , ні його суперник, брати таке число сірників не можуть). Виграє той, хто візьме останній сірник. Хто виграє при правильній грі: той, хто робить перший хід, або його суперник, і як йому треба грати, щоб виграти?
Рішення: За умовою в грі є рівно 8 дозволених ходів: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Зауважимо, що 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64. Тому , незалежно від того, як складеться гра, вона закінчиться тоді, коли будуть зроблені по разу все 8 дозволених ходів. Ясно, що при цьому останнім ходитиме другий. Він і переможе.