спостереження V ≈ 0.
Таким чином, періодично по z змінюється видность спостерігається •
мій дифракційної картини. Причина цих змін у відмінності фазових набігів трьох плоских хвиль, що біжать в області z> 0 від решітки: осьової хвилі, що біжить уздовж осі z. і двох бічних хвиль, що біжать в напрямках sin α = ± Ω / k = ± λ / d.
2.2.2. Дифракція на фазової синусоидальной решітці
Функція пропускання (див. (3.5)):
t (x) = e im cos Ω x.
Будемо вважати, що глибина модуляції фази мала, тобто m 1. Тоді
t (x) ≈ 1 + im cos Ωx = 1 + im 2 e i Ω x + im 2 e - i Ω x.
При висвітленні цих грат плоскою нормально падаючої хвилею амплітуди a маємо за гратами (при z> 0)
f (x, z) = ae ikz + iam 2 e i (Ω x + √ k 2 -Ω 2 z) + iam 2 e i (-Ω x + √ k 2 -Ω 2 z).
Порівнюючи з (3.54), бачимо, що три хвилі мають ті ж амплітуди і напрямок поширення, що і в разі амплітудної решітки. Відмінність лише в початкових фазах: множник i = e iπ / 2 у другому і
третьому доданків показує, що коливання, створені похилими хвилями (на початку координат x = 0 граничної площини z = 0 +), відстають по фазі на π / 2 від коливання осьової хвилі (що біжить в напрямку осі z).
2.3. Дифракція Френеля на періодичних структурах. Ефект Талбота (саморепродукції)
Прикладом періодичної структури є екран з періодично розташованими однаковими елементами, наприклад, паралельними щілинами однакової ширини b. розташованими на однаковій відстані d одна від одної. Нехай такий екран (решітка) висвітлюється зліва плоскою нормально падаючої хвилею (довжина хвилі λ).
ниці, т. е. ми маємо справу з областю Френелевскую дифракції.) У цій площині маємо φ n = 2πn 2. т. е. відносний набіг фази всіх плоских хвиль кратний величині 2π. Очевидно, що і різниця фазових набігів будь-яких двох хвиль (з просторовими частотами n 1 2π / d і
182 Дифракція. Фур'є-оптика
n 2 2π / d), що дорівнює 2π (n 2 1 - n 2 2). також кратна 2π. Але зміна різниці фаз коливань на величину, кратну 2π. нічого не змінює в сум-
Марні коливанні. Ми дійшли чудового результату: фазові співвідношення між складовими плоскими хвилями виявилися однаковими як в площині, що примикає до грат (де сума плоских хвиль (3.55) утворила граничне періодичне поле f 0 (x)), так і
в площині (3.57). Однаковість (з точністю до величини, кратної 2π) фазових співвідношень доданків плоских хвиль призводить до того,
що однаковий і результат інтерференції цих плоских хвиль, т. е. світлове поле в площині z 1 відрізняється від граничного поля f 0 (x) лише постійним фазовим множником e ikz:
f (x, z 1) = e ikz 1 f 0 (x).
Ми спостерігаємо в площині z 1 періодичну структуру, тотожне повторює граничне поле f 0 (x). Очевидно також, що таке восста-
лення зображення періодичної структури повторюється на відстанях, кратних z 1:
186 Дифракція. Фур'є-оптика
І, по-друге, промінь повинен бути ¾тонкім¿: амплітуда і фаза хвилі в перетині променя повинні слабо змінюватися при проходженні транспаранта. Висловимо це умова кількісно. Нехай t (x) = a (x) e iφ (x) комплексна пропускаемость транспаранта, де a (x) амплітудна прозорість, φ (x) = kLn (x) набіг фази. Різниця амплітуд і
фаз в перетині променя після проходження транспаранта (між точка
+ b / 2 в площині z = 0
на рис. 3.30) складе
φ ≈ dx b = kLb dx
відповідно. Умова їх малості
можна записати у вигляді
Умова (3.64) спільно з другим нерівністю (3.65) дає
Отже, досить вимагати, щоб товщина транспаранта L
і неоднорідність показника заломлення
2.5.3. Що таке паралельний пучок світла
Розташуємо на шляху похилій плоскої хвилі f s (x) = ae ik sin α · x з просторовою частотою u 0 = k sin α діафрагму-щілину ширини b (рис. 3.31). У площині z = 0 +. примикає до щілини справа, отримуємо
Таким чином, за щілиною в області z> 0 замість ідеалізованої
плоскої хвилі, амплітуда коливань якої у всіх точках хвильової поверхні (а отже, при всіх -∞ від нуля), ми отримуємо паралельний пучок світла, напрямок якого (кут α) збігається з напрямком плоскої хвилі, що падає на щілину-діафрагму, поперечний переріз пучка є | x | 6 2 b. Ясно, що пу- чок світла обмеженою протяжності це вже не плоска хвиля з просторовою частотою u 0. це пакет плоских хвиль, який утворений плоскими хвилями з просторовими частотами
Мал. 3.31. похилий
Мал. 3.32. просторовий
спектр паралельного пучка
(C 0 (u) фур'є-образ поля f 0 (x). Рис. 3.32). Отже, пропустивши плоску хвилю через діафрагму шириною b. ми отримуємо пакет плоских хвиль з частотою u 0 (центральною частотою пакета) і розкидом частот | u | 6 2 b π. Зауважимо, що при зміщенні щілинний діафрагми в площині z = 0 вгору на відстань x 0 ми отримаємо спектр
C 1 (u) = C 0 (u) e - i (u - u 0) x 0.
(Зсув функції f 0 (x) по координаті x на величину x 0 призводить до множення її спектра на лінійний фазовий множник e - i (u - u 0) x 0.)
Що відбувається з хвильовим пакетом, що має просторовий спектр C 0 (u) при поширенні в області z> 0. На відстані z набіг фази для несучої частоти пакета u 0 дорівнює φ 0 ≈ kz - 2 z k u 2 0. Для
хвилі з просторовою частотою u 0 +
u (нагадуємо, нас интере-
u 0 e - iz sin α (u - u 0).
Остання рівність означає, що форма хвильового пакета залишається незмінною, т. Е. Паралельний пучок світла, поширюючись до площини z. залишається паралельним пучком з незмінним поперечним перерізом і напрямком α. лише набуває набіг фази (такий же, як у плоскій хвилі з просторовою частотою u 0) і зміщуючись в поперечному напрямку (вздовж осі x) на величину x 0 = z sin α (порівняйте з
Якщо умова (3.63) не виконано, то має місце просторова дисперсія. фазові набіги різних плоских хвиль (різних просторових
ських частот), що утворюють хвильовий пакет, виявляються різними хвильової пакет ¾распливается¿. Зокрема, на відстанях z b λ 2 (область дифракції Фраунгофера) область значень x. де
амплітуда коливань відмінна від нуля, визначається шириною головного максимуму дифракційної картини | x | = Λ b z b. Таким чином,
термін ¾параллельний пучок света¿ стає безглуздим, якщо мова йде про поширення хвилі кінцевого поперечного перерізу | x |
2.6. Поле в фокальній площині лінзи. Просторове перетворення Фур'є
Як відомо, лінза фокусує паралельний пучок світла: плоска хвиля, що біжить у напрямку α (рис. 3.33), т. Е. Має просторову частоту u = k sin α. фокусується лінзою в точку фокальної
площині з координатою
x = f tg α ≈ f sin α =
Є, як ми бачимо, взаємно однозначна відповідність між точками фокальній площині і просторовими частотами плоских хвиль, які в ці точки фокусуються. Виявляється, взаємно однозначна відповідність має місце також і між амплітудами і фазами коливань в точках фокальній площині і відповідних їм плоских хвиль.
Нехай на лінзу падає довільна хвиля. У вхідній площині П 1. віддаленої від лінзи на відстані z. хвиля має комплексну амплітуду f 0 (x). Уявімо цю хвилю у вигляді суперпозиції плоских хвиль різних напрямків α n. т. е. комплексну амплітуду цієї хвилі
представимо у вигляді (3.42). Плоска хвиля c n e iu n x. відповідна од-
ному з доданків, показана на рис. 3.33: її хвильовий вектор становить кут α = α n (sin α n = u k n) з оптичною віссю. Коефіцієнт c n = a n e iφ n визначає амплітуду плоскої хвилі a n і початкову фазу φ n (фазу коливань в точці ξ = 0 площині П 1; така ж і фаза коливань в точці P 1. лежить на тій же хвильової поверхні AA ').
Мал. 3.33. Плоска хвиля фокусується в точку фокальної площини
Очевидно, що амплітуда коливань в точці P фокальній площині пропорційна амплітуді a n плоскої хвилі, яка в цю точку
сфокусувалася. Знайдемо, які фазові співвідношення між коливаннями в різних точках фокальній площині. Ясно, що коливання в точці P відстає по фазі від коливання в точці P 1 (а значить, і в точці ξ = 0 вхідній площині), причому різниця фаз визначається довжиною оптичного шляху P 1 P. пряма P 1 P перпендикулярна в кожній точці
хвильовим поверхнях плоских поверхонь в хвилі, що падає на лінзу, і сферичним в хвилі, що пройшла через лінзу. (Оптичний шлях P 1 P включає в себе і частину шляху, що проходить безпосередньо в лінзі.) Нехай відповідна шляху P 1 P затримка по фазі дорівнює ψ n. Тоді фаза коливання в точці P фокальній площині дорівнює φ n + ψ n,
а комплексну амплітуду коливань в цій точці можна записати в
вигляді f (x n) a n e i (φ n + ψ n) = c n e iψ n.
Доданку c 0 e iu 0 x (при u 0 = 0) відповідає плоска хвиля, що біжить уздовж оптичної осі (α = 0). Вона фокусується на початок координат x = 0 фокальній площині Ф. Коефіцієнт c 0 = a 0 e iφ 0 визначає амплітуду a 0 цієї хвилі і її початкову фазу φ 0. т. Е. Фазу коливань в точці O вхідній площині П 1. Затримка з фазі ψ 0 в точці x = 0 фокальній площині Ф, куди ця хвиля сфокусувалася, визначається довжиною оптичного шляху OO. Комплексна амплітуда коливань в цій точці є f (0) a 0 e i (φ 0 + ψ 0)
Для продовження скачування необхідно зібрати картинку: