Однак було доведено, що з останнього третього варіанту найпростішими перестановками чисел виходять перші два квадрата. Тобто третій варіант - це базовий диявольський квадрат, з якого різними перетвореннями можна побудувати всі інші.
Деякі способи побудови магічних квадратів
За допомогою цього способу становлять магічні квадрати з непарного числа клітин: 3х3, 5х5, 7х7 і т. П. Прийом цей запропонований в XVII столітті французьким математиком БАШЕЄВ. Опишемо спосіб побудови 9-ти клітинного квадрата. (Рис.1) Накресливши квадрат з 9-ти клітин, пишемо по порядку числа від 1 до 9, розташовуючи їх косими рядами по 3 в ряд. Числа, які стоять поза квадрата, вписуємо всередину його так, щоб вони
примкнули до протилежним сторонам квадрата, залишаючись в тих же шпальтах або рядках, що і раніше. В результаті отримуємо квадрат:
Застосуємо правило БАШЕЄВ до складання квадрата з 5х5. Починаємо з розташування (рис.2). Залишається тільки числа, які опинилися за рамками квадрата, ввести всередину його. Для цього потрібно фігури, утворені числами, що стоять поза квадрата (тераси), подумки всунути в квадрат так, щоб ці фігури примкнули до протилежним сторонам квадрата. Вийде магічний квадрат:
Цей спосіб придуманий, як вважають, в Індії ще до початку нашого літочислення. Його суть полягає в 6-ти правилах. Наведемо приклад побудови 49-ти клітинного квадрата.
1. У середині верхнього рядка пишуть 1, а в самому низу сусіднього справа стовпчика - 2.
2. Наступні числа пишуть по порядку в діагональному напрямку вправо вгору.
3. Дійшовши до правого краю квадрата, переходять до крайньої лівої клітці найближчій вищерозміщеної рядки.
4. Дійшовши до верхнього краю квадрата, переходять до найнижчої клітці сусіднього справа стовпчика. Дійшовши до правої верхньої кутовий клітини, переходять до лівої нижньої.
5. Дійшовши до вже зайнятої клітини, переходять до клітки, що лежить безпосередньо під останнього заповненого кліткою.
6. Якщо остання заповнена клітина знаходиться в нижньому ряду квадрата, переходять до самої верхньої клітці в тому ж стовпці.
З отриманого квадрата шляхом поворотів і відображень можна скласти ще кілька магічних квадратів. (Додаток 5)