.і були підказані самою природою, адже в більшості випадків абрис листа або квітки є кривою, симетричну щодо осі.
Сімейство троянд Гранді має властивість, яке в природі не відразу й помітиш: так як
то вся крива розташована всередині кола одиничного радіуса. В силу періодичності тригонометричних функцій троянда складається з однакових пелюсток, симетричних відносно найбільших радіусів, кожен з яких дорівнює 1.
Найбільш красиві квіти виходять при k = 2 (чотирипелюсткова троянда) і при k = 3 (трипелюсткова троянда, хоча читачеві, який звернув увагу на рис. 11, б, може здатися, що ця крива більше нагадує пропелер).
Покажемо, як побудувати трипелюсткова троянду. Для побудови цієї кривої спочатку зауважимо, що оскільки полярний радіус неотрицателен, то повинна виконуватись нерівність sin3≥0, вирішуючи яке знаходимо область допустимих кутів: 0≤.
В силу періодичності функції sin3 (її період дорівнює) досить побудувати графік для кутів в проміжку 0. а в інших двох проміжках використовувати періодичність. Отже, нехай 0≤. Якщо кут змінюється від 0 до 1. sin3 змінюється від 0 до 1, і, отже, змінюється від 0 до 1. Якщо кут змінюється від. то радіус змінюється від 1 до 0. Таким чином, при зміні кута від 0 до. точка на площині описує криву, схожу на обриси пелюстки і повертається в початок координат. Такі ж пелюстки виходять, коли кут змінюється в межах від до π і від до. Розглянемо тепер, як побудувати криву, задану в полярній системі координат рівнянням.
Функція - періодична з періодом π, крім того,
тому досить побудувати криву в першій чверті, потім дзеркально відобразити її щодо осі Оу і використовувати періодичність для побудови кривої в третій і четвертій чвертях.
Функція = sin2 на відрізку [0; монотонно зростає з 0 до 1. а на відрізку [; ] Монотонно убуває від 1 до 0. Таким чином, ми отримали пелюстка троянди, що лежить в першій чверті. Решта три пелюстки вийдуть, якщо побудувати криву в останніх чвертях.
Відзначимо наступні цікаві властивості чотирипелюсткові троянди:
чотирипелюсткова троянда є геометричне місце основ перпендикулярів, опущених з початку координат на відрізок довжиною 1, кінці якого ковзають по координатним осях;
площа, яку обмежує чотирипелюсткові трояндою, дорівнює.
Троянди Гранді знайшли своє застосування в техніці, зокрема, якщо деяка точка здійснює коливання уздовж прямої, що обертається з постійною швидкістю навколо нерухомої точки - центру коливань, то траєкторія цієї точки буде трояндою.
Взагалі, якщо k - натуральне число, то троянда складається з 2k пелюсток при парному k і з k: пелюсток при k непарному. Якщо k - раціональне число (k =, то троянда складається з т пелюсток в разі, коли обидва числа т і п непарні, і з 2т пелюсток, коли одне з цих чисел є парним; при цьому пелюстки частково перекриваються. Якщо k - ірраціональне число , то троянда складається з нескінченної кількості частково перекриваються пелюсток.
Лемніската - одна з найчудовіших алгебраїчних ліній. З вигляду рівняння кривої слід, що крива складається з двох симетричних пелюсток (за зовнішнім виглядом ця крива нагадує перевернуту вісімку або бантик). Для точок лемніскати має виконуватися нера-венство соs2, тому вона розташована між прямими у = х. Відзначимо також, що = при = 0.
Покажемо, як побудувати лемніската. Але спочатку відзначимо, що, оскільки квадрат полярного радіусу неотрицателен, повинна виконуватись нерівність соs2. Вирішуючи це нерівність, знаходимо область допустимих кутів:
В силу періодичності функції соs2 (її період дорівнює π) досить побудувати графік для кутів в проміжку а в решті випадків використовувати періодичність
Отже, нехай Якщо кут змінюється від до π, то cos2 змінюється від 0 до 1 і, отже, змінюється від 0 до
Якщо кут змінюється від π до. то змінюється від до 0 Таким чином при зміні кута від точка на площині описує криву, що нагадує половинку від вісімки, і повертається в початок координат. Друга половинка вийде, коли кут змінюється в межах від 0 до і від до 2π.
Лемніската має низку оригінальних геометричних і механічних властивостей:
кут, складений дотичній до лемніската в довільній точці з радіус-вектором точки дотику дорівнює 2
перпендикуляр, опущений з фокуса лемніскати на радіус-вектор будь-якої її точки, ділить площу відповідного сектора навпіл;
ця крива (в перекладі з латинської lemniscatus - прикрашений стрічками) є безліч точок М, твір відстаней яких r1, і r2 до двох даних точок F1, і F2 (фокусів) дорівнює квадрату междуфокусного відстані.
Вперше лемніската була розглянута Якобом Бернуллі (1654-1705) в 1694 р Згодом Бернуллі багато годин своїх занять приділяв лемніската і знайшов кілька її цікавих властивостей.
У техніці лемніската використовується, зокрема, в якості перехідної кривої на заокругленні малого радіусу, як це має місце на залізничних лініях в гірській місцевості і на трамвай-них шляхах. Таким чином вона забезпечує плавність заокруглення, без якої відцентрова сила, що діє на поїзд, зростала б різко, доставляючи незручність пасажирам.
Як приклад застосування розміру