4.1.Комплексним числом називається вираз виду:
де і - будь-які дійсні числа, а - так звана уявна одиниця, яка задовольнить умові
Числа і називаються відповідно дійсною і уявною частинами комплексного числа.
Комплексні числа можна представляти точками площині або ж векторами цій площині.
4. 2. Довжина вектора називається модулем комплексного числа і позначається через. так що .
Кут. утворений вектором з позитивним напрямком осі називається аргументом комплексного числа і позначається
де - головне значення. визначається умовами. причому,
Так як . . то - тригонометрическая форма комплексного числа. За допомогою формули Ейлера
можна перейти від тригонометричної форми до показової
4. 3. Два комплексних числа і рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні та уявні частини:; . Або коли їх модулі рівні, а аргументи або рівні, або відрізняються на величину, кратну:
4. 4. Основні дії над комплексними числами.
При додаванні і відніманні комплексних чисел окремо складаються або віднімаються їх дійсні та уявні частини
Піднесення до степеня ціле):
Корінь з комплексного числа ціле):
Корінь - го ступеня з будь-якого числа має різних значень, які розташовуються в вершинах правильного - кутника, вписаного в коло радіуса з центром в початку координат.
Приклад. Дано комплексні числа в алгебраїчній формі:
Виконати зазначені дії:. . . . Знайти всі корені рівняння. зобразити їх на площині.
Зобразимо числа і на комплексній площині
Показова форма числа:; .
Множимо за правилом множення многочленів, враховуючи, що або. (При множенні показники складаються).
У показовою формі:
. (При розподілі показники віднімаються).
4). Краще це дію виконувати в показовою формі
Знайдемо коріння рівняння. .
Корінь третього ступеня з комплексного числа має три різні значення. В даному випадку
мають однаковий модуль, значить вони розташовуються на окружності з центром на початку координат, радіусом. так як різниця аргументів. то вони лежать в вершинах правильного вписаного трикутника.