Будь-яке лінійне рівняння задає на площині пряму. Лінії, що задаються рівняннями виду
називаються кривими другого порядку. За винятком вироджених випадків є всього 3 кривих другого порядку: еліпс (окремий випадок - коло), гіпербола і парабола, вони мають такі канонічні рівняння і вид.
Окружністю радіуса з центром в точці називається безліч точок площині віддалених від точки на відстані.
Рівняння кола має вигляд:. (4.13)
Зокрема, вважаючи, отримаємо рівняння кола з центром на початку координат.
Еліпсом називається безліч всіх точок площині, сума відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок цієї площини, які називаються фокусами. є величина постійна, велика, ніж відстань між фокусами.
Канонічне рівняння еліпса має вигляд:
Форму еліпса характеризує відношення. зване ексцентриситетом еліпса. Чим менше ексцентриситет, тим менше витягнуть еліпс уздовж фокальної осі, тобто осі на якій лежать фокуси.
У граничному випадку при еліпс переходить в окружність.
Якщо в канонічному рівнянні еліпса. то фокуси розташовуються на осі ОУ і мають координати
Гіперболою називається безліч всіх точок площині, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок цієї площини, які називаються фокусами. є величина постійна, менша, ніж відстань між фокусами.
Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:
Тут - справжня піввісь гіперболи, - уявна піввісь гіперболи.
Точки - вершини гіперболи.
Гіпербола має дві асимптоти
Для побудови гіперболи спочатку будують основний прямокутник, обмежений прямими. потім проводять його діагоналі, які збігаються з асимптотами гіперболи.
Форму гіперболи характеризує ексцентриситет. Чим менше ексцентриситет, тим більше витягнуть її основний в напрямку фокальній осі.
Гіпербола називається сполученої до гіперболи (4.15).
Тут - уявна піввісь гіперболи, - дійсна піввісь гіперболи Вершини сполученої гіперболи і фокуси лежать на осі ОY.
Параболою називається безліч всіх точок площині, кожна з яких однаково віддалена від фіксованої точки, званої фокусом і даної прямої, званої директоркою. Відстань від фокуса до директриси, називається параметром параболи і позначається через.
Канонічне рівняння параболи має вигляд:. де. (4.16)
Точка - вершина параболи, вісь - вісь симетрії параболи.
Фокус і рівняння директриси.
Парабола розташовується симетрично щодо осі.