Приклад кореневого годографа системи
W (s) = (s + 1) (s + 2) (s + 3) s 2 (s + 0. 4) (s + 0. 5) (s + 0. 6) (s + 0,4) (s + 0,5) (s + 0,6) >>>.
причому порядок полінома чисельника дорівнює m. порядок полінома знаменника дорівнює n. m ≤ n для фізично реалізованих систем.
Метод кореневого годографа пов'язує динамічні характеристики системи з поведінкою нулів і полюсів її передавальної функції, які знаходяться з нулів і полюсів розімкнутої системи при зміні будь-якого параметра (зазвичай коефіцієнта посилення розімкнутої системи). Замкнута система пов'язана з розімкненим за допомогою наступного співвідношення:
Де W Π> - передавальна функція прямого системи, W p> - передавальна функція розімкнутої системи. Ця формула справедлива тільки для негативного зворотного зв'язку, в іншому випадку знак після одиниці буде негативним. Нехай точка s є полюсом замкнутої системи. Проведемо в цю точку вектора з усіх нулів W p> розімкнутої системи (позначимо аргументи цих векторів θ j 0 ^>) і всіх полюсів W p> (аргументи цих векторів позначимо θ j P ^>). Тоді кореневих годографом буде геометричне місце точок. задовольняють наступним рівнянням:
Метод кореневого годографа дозволяє підібрати коефіцієнт посилення системи управління, оцінити коливальність руху, підібрати розташування нулів і полюсів коригувальних ланок системи управління.
Властивості кореневого годографа
Розглянемо властивості кореневого годографа при зміні коефіцієнта посилення:
- Гілки кореневого годографа безупинні і симетричні щодо дійсної осі комплексної площини.
- Число гілок кореневого годографа одно порядку системи n.
- Гілки починаються в полюсах розімкненої системи (так як при нульовому коефіцієнті посилення K полюси розімкнутої і замкнутої систем збігаються). При зростанні K від 0 до нескінченності полюса замкнутої системи рухаються по гілках кореневого годографа.
- Так як при K = ∞ полюси замкнутої системи стають рівними нулях розімкнутої системи, то рівно m гілок кореневого годографа закінчується в нулях замкнутої системи, а інші гілки йдуть в нескінченність.
- Замкнута система є стійкою. якщо її полюса лежать в лівій півплощині площині коренів. Відповідно при перетині гілками годографа уявної осі зліва направо система з стійкою стає нестійкою. Коефіцієнт посилення, що відповідає цьому переходу, називається критичним. Дана властивість корисно при оцінці стійкості системи.