Порівнюючи (16.5) і (16.4) отримаємо:
У зв'язку з тим, що хвильові функції в квантовій механіці визначені з точністю до фазового множника, то
Фаза точно не визначена, і її можна віднести до самої хвильової функції. Така неоднозначність принципова і не може бути усунена, проте вона несуттєва, тому що не відбивається ні на яких фізичних величинах. Таким чином: . Ми отримали
Тепер запишемо - для трьох мірного випадку:
Функція (16.6) задовольняє умові нормування (16.4).
В імпульсному представленні:
§17. Рішення завдання на власні функції і власні значення для оператора.
Якщо в класичній механіці розглядати. то
Якщо отриманого виразу поставити у відповідність оператор в квантовій механіці, то він може бути записаний у вигляді:
де - кут повороту навколо осі.
Розглянемо задачу на власні функції і власні значення для оператора:
Ми накладаємо на функцію умова періодичності, т. К. Кут змінюється від до. т. е .:
Використовуючи дане обмеження можна записати:
де N і M цілі числа, значить теж має бути цілим:
де - ціле безрозмірне число. З умови періодичності отримали квантованность проекції орбітального моменту на вісь z. Спектр власних значень оператора дискретний. Так як ціле число, то функція набуває індекс:
Знайдемо константу. Запишемо умова нормування:
При інтеграл дає. В результаті отримуємо вираз для:
Тоді маємо для рівняння власну хвильову функцію
Таким чином, спектр власних значень оператора дискретний, а власні функції нормовані.
§ 18. Обчислення комутаторів, що містять оператори (і *).
Знайдемо. де - є функція і. тобто - координатне уявлення.
Подействуем цим комутатором на деяку довільну функцію:
Аналогічний результат для оператора в імпульсному представленні:
Розглянемо окремі випадки формул (18.1) і (18.2):
1.. тут грає роль функції.
3.. тут потенційна енергія - функція координат і часу.
5.. тут імпульсна уявлення, таким чином.
5a. .Для однієї матеріальної точки. тоді:
6. - координатне уявлення.
7. - імпульсна уявлення.
Розглянемо співвідношення для оператора
Використовуємо додаткове співвідношення:
це відношення справедливо і в квантової теорії поля:
. У загальному випадку імпульс і координата НЕ комутують, тоді функція координат і імпульсів і імпульс, координата і функція координат і імпульсів трохи коммутируют. Якщо f - функція скалярная, тоді вона не змінюється при обертанні. У цьому випадку, щоб. то f - векторна функція.> (де f є компонента деякої векторної величини, т. е.
Тоді перепишемо у вигляді:
Тоді для будь-якої векторної функції маємо:
Тут замість можна підставити, наприклад,
- комутатор з будь-яким скаляром дорівнює нулю.
Треба сформулювати рівняння функції, яка описувала б квантово-механічну систему.
Це рівняння було отримано Шредінгер інтуїтивним шляхом. Воно нізвідки не виводиться.
Наведемо деякі співвідношення на користь рівняння Шредінгера:
Норма хвильової функції:
- ймовірність виявити динамічні змінні в інтервалі.
Накладемо на - умова її збереження в часі. - це фізичне вимога, оскільки. то також функція часу.
На базі обмеження отримаємо деякі обмеження на.
Позначимо. Ми знаємо, що . таким чином . Тоді саме скалярний твір - чисто уявне число.
Але - число речовий. Звідси можна уявити
Тут уявна одиниця зі співвідношення. Т. к. В (*) варто лінійний оператор. то це співвідношення задовольняє принципу суперпозиції.
Підставами (19.1) в рівність. тоді
- ця величина повинна бути чисто речової, тоді оператор - Ерміта:.
У межі переходу до класичної механіки:. то. де S - дія з класичної механіки. Причому. тоді розглядаючи
де - функція Гамільтона.
У нашому випадку . тоді враховуючи граничний перехід і (19.2), то:.
Отримали хвильове рівняння:
- нестаціонарне рівняння Шредінгера (хвильове рівняння).
Кожній системі ставиться у відповідність Гамільтоніан, вирішуємо з гамильтонианом рівняння Шредінгера і отримуємо хвильову функцію яка визначає еволюцію системи.