14 Функціональні послідовності і ряди
До сих пір ми розглядали тільки числові послідовності і числові ряди. Тепер будемо вивчати послідовності, елементи яких - функції, а також ряди, складові яких є функціями.
14.1 поточечной і рівномірна збіжність
Розглянемо послідовність функцій
f1 (x). f2 (x). f3 (x). визначених на безлічі EÍR. Візьмемо будь-яких aÎE. Підставляючи a замість х. отримаємо числову послідовність n (a)>. Вона може сходитися, а може і розходитися. Безліч чисел a. при підстановці яких виходить сходиться числова послідовність, називається областю збіжності послідовності n (х)>. Будемо позначати це безліч буквою D:
Для кожного aÎD існує кінцевий межа, який ми позначимо f (a):
.
Ми вжили функціональну запис f (a) при позначенні числа для того, щоб підкреслити: цю межу залежить від a. тобто це функція від a. Можна використовувати більш звичне позначення змінної:
, не забуваючи, що f (х) визначена тільки на безлічі D. Використовується також запис без значка lim. . Така збіжність послідовності n (х)> до функції f (х) називається поточечной. Дамо визначення поточечной збіжності на мові «e -d»:
.
Тепер дамо визначення рівномірної збіжності, яку будемо позначати так: (читається: «послідовність fn (х) сходиться рівномірно на множині D до функції f (х)»). За визначенням
.
На перший погляд різниця в термінах невелика, проте вона істотна. У першому визначенні потрібно, щоб для кожного хÎD існував номер n0 з певним властивістю. Для різних х такі номери, можливо, будуть різними. У другому визначенні - більш сильно вимога: один і той же номер n0 повинен годитися для будь-якого хÎD. Таким чином, ясно, що з рівномірною збіжності випливає поточечной:
.
Зворотне - невірно, див. Приклад 1 нижче.
Дамо геометричну ілюстрацію до поняття рівномірної збіжності. Вимога, що міститься у визначенні:
означає, що, починаючи з деякого номера, графіки функцій fn (х) мало відрізняються від графіка f (х) на всьому безлічі D. лежать в «e труба» графіка функції f (х). Отже,
графіки fn (х) лежать в «e- трубі» графіка f (х).
Приклад 1. Розглянемо послідовність функцій
Будемо вважати xÎD = [0, 1]. У кожній точці цієї множини послідовність сходиться: